Resolva:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você me mandou:
Aqui, o conteúdo principal é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, e vamos precisar usar valores e vetores próprios para resolver esse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os valores próprios da matriz
Os valores próprios,
, são encontrados resolvendo o determinante da matriz
igual a zero:
Calculando:
Expandindo:
Passo 3
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos dois valores próprios:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Para
:
Resolvemos
:
Isso nos dá as equações:
Podemos ver que as duas equações são equivalentes. Resolvendo para
:
Escolhemos
para simplificar, então
. Portanto, o vetor próprio é:
Para
:
Resolvemos
:
Isso nos dá:
Novamente, as equações são equivalentes. Resolvendo para
:
Escolhemos
, então
. Portanto, o vetor próprio é:
Passo 5
Com os valores e vetores próprios, podemos escrever a solução geral do sistema:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Isso resulta no sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Resposta
A solução do sistema é:
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Escreva o sistema
sob a forma matricial e encontre sua solução geral.