Resolva:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você me mandou:
Aqui, o conteúdo principal é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, e vamos precisar usar valores e vetores próprios para resolver esse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os valores próprios da matriz
Os valores próprios, , são encontrados resolvendo o determinante da matriz igual a zero:
Calculando:
Expandindo:

Passo 3

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos dois valores próprios:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá as equações:
Podemos ver que as duas equações são equivalentes. Resolvendo para :
Escolhemos para simplificar, então . Portanto, o vetor próprio é:
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá:
Novamente, as equações são equivalentes. Resolvendo para :
Escolhemos , então . Portanto, o vetor próprio é:

Passo 5

Com os valores e vetores próprios, podemos escrever a solução geral do sistema:
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial :
Isso resulta no sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução do sistema é:

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Escreva o sistema sob a forma matricial e encontre sua solução geral.