Resolva:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou é sobre um sistema de equações diferenciais lineares. Basicamente, temos uma equação do tipo com uma condição inicial . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear e cálculo diferencial, como matrizes, autovalores, autovetores e métodos para resolver sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz e o vetor constante na equação:
Nosso objetivo é encontrar a solução geral da equação diferencial .

Passo 3

Vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, precisamos encontrar os autovalores (valores próprios) da matriz .
Os autovalores são encontrados resolvendo o determinante :
Resolvendo a equação quadrática, temos:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvendo , obtemos .
Para :
Resolvendo , obtemos .

Passo 5

Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral da equação homogênea:
Onde e são constantes que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como é constante, vamos tentar uma solução particular constante .
Substituindo na equação:
Resolvendo o sistema:
Portanto, a solução particular é:

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial :
Isso resulta no sistema:
Simplificando:
Resolvendo, somamos as duas equa��ões:
Substituindo na segunda equação:

Passo 9

Finalmente, substituímos e na solução geral:

Resposta

A solução do sistema é:

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Escreva o sistema sob a forma matricial e encontre sua solução geral.
Resolva os sistemas: