Resolva:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou é sobre um sistema de equações diferenciais lineares. Basicamente, temos uma equação do tipo
com uma condição inicial
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear e cálculo diferencial, como matrizes, autovalores, autovetores e métodos para resolver sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz
e o vetor constante
na equação:
Nosso objetivo é encontrar a solução geral da equação diferencial
.
Passo 3
Vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, precisamos encontrar os autovalores (valores próprios) da matriz
.
Os autovalores
são encontrados resolvendo o determinante
:
Resolvendo a equação quadrática, temos:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para
:
Resolvendo
, obtemos
.
Para
:
Resolvendo
, obtemos
.
Passo 5
Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral da equação homogênea:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como
é constante, vamos tentar uma solução particular constante
.
Substituindo na equação:
Resolvendo o sistema:
Portanto, a solução particular é:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Isso resulta no sistema:
Simplificando:
Resolvendo, somamos as duas equa��ões:
Substituindo na segunda equação:
Passo 9
Finalmente, substituímos
e
na solução geral:
Resposta
A solução do sistema é:
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Escreva o sistema
sob a forma matricial e encontre sua solução geral.
Resolva os sistemas: