Resdra as equacoios abaito viando a transformada de laplace.
y'' + y = sen(2t) ; y(0) = 2 ; y'(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial com algumas condições iniciais. A equação é , e as condições são e . Vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática que ajuda a resolver equações diferenciais transformando-as em álgebra mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
onde é a Transformada de Laplace de .

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace na equação :
Substituindo pelas fórmulas das derivadas:

Passo 4

Agora, vamos substituir as condições iniciais e na equação:
Agrupando os termos com :

Passo 5

Para isolar , dividimos ambos os lados por :
Agora, precisamos simplificar essa expressão para encontrar a Transformada Inversa de Laplace.

Passo 6

Vamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por :
Comparando os coeficientes:
Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Então, .

Passo 7

Substituindo os valores de e na decomposição:
Agora, voltamos à expressão de :
Simplificando os termos:

Passo 8

Agora, vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar :
Sabemos que:

Passo 9

Aplicando essas transformadas:
Simplificando:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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