Resdra as equacoios abaito viando a transformada de laplace.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial com algumas condições iniciais. A equação é , e as condições são e . Vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática que ajuda a resolver equações diferenciais transformando-as em álgebra mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
onde é a Transformada de Laplace de .

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace na equação :
Substituindo pelas fórmulas das derivadas:

Passo 4

Agora, vamos substituir as condições iniciais e na equação:
Agrupando os termos com :

Passo 5

Para isolar , dividimos ambos os lados por :
Agora, precisamos simplificar essa expressão para encontrar a Transformada Inversa de Laplace.

Passo 6

Vamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por :
Comparando os coeficientes:
Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Então, .

Passo 7

Substituindo os valores de e na decomposição:
Agora, voltamos à expressão de :
Simplificando os termos:

Passo 8

Agora, vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar :
Sabemos que:

Passo 9

Aplicando essas transformadas:
Simplificando:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Resdra as equacoios abaito viando a transformada de laplace.
Problema: Resposta de um Circuito RC a um Pulso de Entrada. Este problema combina princípios de engenharia elétrica, análise de circuitos e o uso da Transformada de Laplace para resolver sistemas dinâmicos. A resposta em domínio do tempo ) mostrará como o circuito responde ao pulso de entrada ao longo do tempo, o que é útil na engenharia para projetar sistemas de controle e entender o comportamento de sistemas dinâmicos.
Considere um circuito elétrico simples que consiste em um resistor ® e um capacitor © conectados em série, como mostrado na figura abaixo:
O circuito está inicialmente em repouso, com a tensão através do capacitor igual a zero. Em , uma fonte de tensão é conectada ao circuito, fornecendo um pulso de entrada com a forma:
onde é a função degrau unitário e é a amplitude do pulso de entrada.
Sua tarefa é determinar a tensão através do capacitor, , em função do tempo após a aplicação do pulso de entrada.
Para resolver o problema, resolva as seguintes etapas:
(a) Use a Transformada de Laplace para encontrar a função de transferência do circuito, , em termos de (a variável complexa da Transformada de Laplace).
(b) Encontre a transformada de Laplace da entrada e a transformada de Laplace da saída , usando a função de transferência .
© Aplique a propriedade de inversão da Transformada de Laplace para encontrar a solução em domínio do tempo, ou seja, encontre em função do tempo.
(d) Analise a resposta do circuito para diferentes valores de R, C e . Como a resposta muda com a variação desses parâmetros?
Resdra as equacoios abaito viando a transformada de laplace.
Escreva sob forma diferencial separável as equações abaixo, e resolva-as: