Resdra as equacoios abaito viando a transformada de laplace.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial com algumas condições iniciais. A equação é
, e as condições são
e
. Vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática que ajuda a resolver equações diferenciais transformando-as em álgebra mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
onde
é a Transformada de Laplace de
.
Passo 3
Aplicando a Transformada de Laplace na equação
:
Substituindo pelas fórmulas das derivadas:
Passo 4
Agora, vamos substituir as condições iniciais
e
na equação:
Agrupando os termos com
:
Passo 5
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Agora, precisamos simplificar essa expressão para encontrar a Transformada Inversa de Laplace.
Passo 6
Vamos decompor a fração
em frações parciais. Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por
:
Comparando os coeficientes:
Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Da primeira equação,
Então,
.
Passo 7
Substituindo os valores de
e
na decomposição:
Agora, voltamos à expressão de
:
Simplificando os termos:
Passo 8
Agora, vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar
:
Sabemos que:
Passo 9
Aplicando essas transformadas:
Simplificando:
Resposta
A solução da equação diferencial é: