Resdra as equacoios abaito viando a transformada de laplace.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial com algumas condições iniciais. A equação é
, e as condições são
e
. Vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática que ajuda a resolver equações diferenciais transformando-as em álgebra mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
onde
é a Transformada de Laplace de
.
Passo 3
Aplicando a Transformada de Laplace na equação
:
Substituindo pelas fórmulas das derivadas:
Passo 4
Agora, vamos substituir as condições iniciais
e
na equação:
Agrupando os termos com
:
Passo 5
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Agora, precisamos simplificar essa expressão para encontrar a Transformada Inversa de Laplace.
Passo 6
Vamos decompor a fração
em frações parciais. Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por
:
Comparando os coeficientes:
Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Da primeira equação,
Então,
.
Passo 7
Substituindo os valores de
e
na decomposição:
Agora, voltamos à expressão de
:
Simplificando os termos:
Passo 8
Agora, vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar
:
Sabemos que:
Passo 9
Aplicando essas transformadas:
Simplificando:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Problema: Resposta de um Circuito RC a um Pulso de Entrada. Este problema combina princípios de engenharia elétrica, análise de circuitos e o uso da Transformada de Laplace para resolver sistemas dinâmicos. A resposta em domínio do tempo
) mostrará como o circuito responde ao pulso de entrada ao longo do tempo, o que é útil na engenharia para projetar sistemas de controle e entender o comportamento de sistemas dinâmicos.
Considere um circuito elétrico simples que consiste em um resistor ® e um capacitor © conectados em série, como mostrado na figura abaixo:
Considere um circuito elétrico simples que consiste em um resistor ® e um capacitor © conectados em série, como mostrado na figura abaixo:
O circuito está inicialmente em repouso, com a tensão através do capacitor igual a zero. Em
, uma fonte de tensão
é conectada ao circuito, fornecendo um pulso de entrada com a forma:
onde
é a função degrau unitário e
é a amplitude do pulso de entrada.
Sua tarefa é determinar a tensão através do capacitor, , em função do tempo após a aplicação do pulso de entrada.
Para resolver o problema, resolva as seguintes etapas:
(a) Use a Transformada de Laplace para encontrar a função de transferência do circuito, , em termos de
(a variável complexa da Transformada de Laplace).
(b) Encontre a transformada de Laplace da entrada e a transformada de Laplace da saída
, usando a função de transferência
.
© Aplique a propriedade de inversão da Transformada de Laplace para encontrar a solução em domínio do tempo, ou seja, encontre em função do tempo.
(d) Analise a resposta do circuito para diferentes valores de R, C e . Como a resposta muda com a variação desses parâmetros?
Sua tarefa é determinar a tensão através do capacitor,
Para resolver o problema, resolva as seguintes etapas:
(a) Use a Transformada de Laplace para encontrar a função de transferência do circuito,
(b) Encontre a transformada de Laplace da entrada
© Aplique a propriedade de inversão da Transformada de Laplace para encontrar a solução em domínio do tempo, ou seja, encontre
(d) Analise a resposta do circuito para diferentes valores de R, C e
Resdra as equacoios abaito viando a transformada de laplace.
Escreva sob forma diferencial separável as equações abaixo, e resolva-as: