Usando o método da variação dos parâmetros encontre uma solução particular para as seguintes equações diferenciais. Determine a solução geral.
, onde
é constante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. A equação que temos é:
Aqui,
é uma constante e
é uma função qualquer. Para resolver isso, precisamos encontrar uma solução particular da equação e depois a solução geral, que inclui a solução da equação homogênea associada.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma
. Substituindo na equação:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Fatorando:
Assim, temos duas raízes:
Passo 3
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Simplificando:
Aqui,
e
são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
da equação original usando o método da variação dos parâmetros. Esse método nos permite encontrar uma solução particular quando já conhecemos a solução da equação homogênea.
Assumimos que a solução particular tem a forma:
Onde
e
são as soluções da equação homogênea, ou seja,
e
.
Passo 5
Para encontrar
e
, usamos as seguintes fórmulas:
Onde
é o Wronskiano das soluções
e
:
Calculando o Wronskiano:
Então:
Passo 6
Agora, substituímos no sistema para
e
:
Agora, integramos para encontrar
e
:
Passo 7
Substituindo
e
na expressão de
:
Passo 8
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é dada por:
Onde
e
são constantes arbitrárias.