Usando o método da variação dos parâmetros encontre uma solução particular para as seguintes equações diferenciais. Determine a solução geral.
y'' + c y' = f(x), onde c é constante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. A equação que temos é:
Aqui, é uma constante e é uma função qualquer. Para resolver isso, precisamos encontrar uma solução particular da equação e depois a solução geral, que inclui a solução da equação homogênea associada.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma . Substituindo na equação:
Dividindo por (que nunca é zero):
Fatorando:
Assim, temos duas raízes:

Passo 3

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Simplificando:
Aqui, e são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação original usando o método da variação dos parâmetros. Esse método nos permite encontrar uma solução particular quando já conhecemos a solução da equação homogênea.
Assumimos que a solução particular tem a forma:
Onde e são as soluções da equação homogênea, ou seja, e .

Passo 5

Para encontrar e , usamos as seguintes fórmulas:
Onde é o Wronskiano das soluções e :
Calculando o Wronskiano:
Então:

Passo 6

Agora, substituímos no sistema para e :
Agora, integramos para encontrar e :

Passo 7

Substituindo e na expressão de :

Passo 8

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde e são constantes arbitrárias.

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