Escreva a soma parcial da série
Calcule a soma dos termos de . Essa série converge? O termo geral da série tende a zero? Sugestäo: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a soma parcial da série . Isso envolve conceitos de séries infinitas e propriedades dos logaritmos. Vamos precisar entender como somar os termos dessa série e verificar se ela converge. A dica que vamos usar é que .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a soma parcial dos primeiros termos da série:
Aqui, substituímos o índice por para evitar confusão.

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada termo da soma usando a propriedade dos logaritmos mencionada:
Isso transforma cada termo da série em uma diferença de logaritmos.

Passo 4

Substituindo de volta na soma parcial, temos:
Agora, vamos somar todos esses termos.

Passo 5

Observamos que a soma é telescópica, ou seja, a maioria dos termos se cancela:
Tudo menos e se cancela.

Passo 6

Simplificando, temos:
E como , fica:

Passo 7

Agora, vamos verificar se a série converge. Para isso, analisamos o limite da soma parcial quando tende ao infinito:
Como o limite é infinito, a série não converge.

Passo 8

Por último, vamos ver se o termo geral da série tende a zero. Olhando para:
Então, sim, o termo geral tende a zero. Porém, isso não garante a convergência da série, como vimos no passo anterior.

Resposta

A soma dos primeiros termos é . A série não converge e o termo geral tende a zero.

Exercícios relacionados

Determine nos exercícios 1-10.
Determine nos exercícios 1-10.
Os termos da série são definidos recursivamente. Determine se a série converge ou diverge:
Verifique que
Sugestão: substitua por em .