Escreva a soma parcial
da série
Calcule a soma dos
termos de
. Essa série converge? O termo geral da série tende a zero? Sugestäo:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a soma parcial
da série
. Isso envolve conceitos de séries infinitas e propriedades dos logaritmos. Vamos precisar entender como somar os termos dessa série e verificar se ela converge. A dica que vamos usar é que
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a soma parcial
dos
primeiros termos da série:
Aqui, substituímos o índice
por
para evitar confusão.
Passo 3
Agora, vamos simplificar cada termo da soma usando a propriedade dos logaritmos mencionada:
Isso transforma cada termo da série em uma diferença de logaritmos.
Passo 4
Substituindo de volta na soma parcial, temos:
Agora, vamos somar todos esses termos.
Passo 5
Observamos que a soma é telescópica, ou seja, a maioria dos termos se cancela:
Tudo menos
e
se cancela.
Passo 6
Simplificando, temos:
E como
, fica:
Passo 7
Agora, vamos verificar se a série converge. Para isso, analisamos o limite da soma parcial quando
tende ao infinito:
Como o limite é infinito, a série não converge.
Passo 8
Por último, vamos ver se o termo geral da série tende a zero. Olhando para:
Então, sim, o termo geral tende a zero. Porém, isso não garante a convergência da série, como vimos no passo anterior.
Resposta
A soma dos
primeiros termos é
. A série não converge e o termo geral tende a zero.
Exercícios relacionados
Determine
nos exercícios 1-10.
Determine
nos exercícios 1-10.
Os termos da série
são definidos recursivamente. Determine se a série converge ou diverge:
Verifique que
Sugestão: substitua
por
em
.