Escreva a soma parcial sn da série
sumn=1^infty ln (1+1n)
Calcule a soma dos n termos de sn. Essa série converge? O termo geral da série tende a zero? Sugestäo: ln (a / b)=ln a-ln b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a soma parcial da série . Isso envolve conceitos de séries infinitas e propriedades dos logaritmos. Vamos precisar entender como somar os termos dessa série e verificar se ela converge. A dica que vamos usar é que .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a soma parcial sn = sumk=1^n ln (1+1k) dos primeiros termos da série:
Aqui, substituímos o índice por para evitar confusão.

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada termo da soma usando a propriedade dos logaritmos mencionada:
ln (1+1k) = ln (k+1k) = ln(k+1) - ln(k)
Isso transforma cada termo da série em uma diferença de logaritmos.

Passo 4

Substituindo de volta na soma parcial, temos:
sn = sumk=1^n [ln(k+1) - ln(k)]
Agora, vamos somar todos esses termos.

Passo 5

Observamos que a soma é telescópica, ou seja, a maioria dos termos se cancela:
sn = [ln(2) - ln(1)] + [ln(3) - ln(2)] + cdots + [ln(n+1) - ln(n)]
Tudo menos e se cancela.

Passo 6

Simplificando, temos:
sn = ln(n+1) - ln(1)
E como sn = ln(n+1) , fica:

Passo 7

Agora, vamos verificar se a série converge. Para isso, analisamos o limite da soma parcial quando limn to infty sn = limn to infty ln(n+1) = infty tende ao infinito:
Como o limite é infinito, a série não converge.

Passo 8

Por último, vamos ver se o termo geral da série tende a zero. Olhando para:
limk to infty ln(1+1k) = ln(1+0) = ln(1) = 0
Então, sim, o termo geral tende a zero. Porém, isso não garante a convergência da série, como vimos no passo anterior.

Resposta

A soma dos primeiros termos é . A série não converge e o termo geral tende a zero.

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