Escreva como uma combinação linear de e
(Obs: Isto é, achar tais que e resolver sistema linear)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente escrever o vetor como uma combinação linear dos vetores e . Isso está relacionado com o conteúdo de Álgebra Linear, especificamente com combinações lineares e sistemas lineares. Para resolver, vamos precisar montar e resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes e .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Basicamente, queremos encontrar números e tais que, quando multiplicamos cada vetor pelos seus respectivos coeficientes e somamos, obtenhamos o vetor . Matemáticamente, isso fica assim:
Substituindo os vetores, temos:
Passo 3
Agora, vamos distribuir os coeficientes dentro dos vetores:
Isso nos dá duas equações baseadas nas componentes dos vetores:
Para a primeira coordenada:
Para a segunda coordenada:
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Uma forma fácil é usar o método da substituição ou da combinação. Vamos optar pelo método da substituição.
Primeiro, da primeira equação, isolamos o :
Passo 5
Agora, substituímos o valor de na segunda equação:
Resolvendo:
Agora que encontramos , voltamos na expressão de :