Escreva como uma combinação linear de e u2=(3,5)
(Obs: Isto é, achar a, b in R tais que u=a u1+b u2 e resolver sistema linear)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente escrever o vetor u = (2,5) como uma combinação linear dos vetores u1 = (1,2) e u2 = (3,5). Isso está relacionado com o conteúdo de Álgebra Linear, especificamente com combinações lineares e sistemas lineares. Para resolver, vamos precisar montar e resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes a e b.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Basicamente, queremos encontrar números a e b tais que, quando multiplicamos cada vetor pelos seus respectivos coeficientes e somamos, obtenhamos o vetor u. Matemáticamente, isso fica assim:
u = a,u1 + b,u2
Substituindo os vetores, temos:
(2,5) = a,(1,2) + b,(3,5)
Passo 3
Agora, vamos distribuir os coeficientes dentro dos vetores:
(2,5) = (a times 1, , a times 2) + (b times 3, , b times 5) = (a + 3b, , 2a + 5b)
Isso nos dá duas equações baseadas nas componentes dos vetores:
Para a primeira coordenada:
a + 3b = 2
Para a segunda coordenada:
2a + 5b = 5
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
a + 3b = 2 2a + 5b = 5
Vamos resolver esse sistema. Uma forma fácil é usar o método da substituição ou da combinação. Vamos optar pelo método da substituição.
Primeiro, da primeira equação, isolamos o a:
a = 2 - 3b
Passo 5
Agora, substituímos o valor de a na segunda equação: