Escreva u=(2,5) como uma combinação linear de u1=(1,2) e u2=(3,5)
(Obs: Isto é, achar a, b in R tais que u=a u1+b u2 e resolver sistema linear)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente escrever o vetor u = (2,5) como uma combinação linear dos vetores u1 = (1,2) e u2 = (3,5). Isso está relacionado com o conteúdo de Álgebra Linear, especificamente com combinações lineares e sistemas lineares. Para resolver, vamos precisar montar e resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes a e b.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Basicamente, queremos encontrar números a e b tais que, quando multiplicamos cada vetor pelos seus respectivos coeficientes e somamos, obtenhamos o vetor u. Matemáticamente, isso fica assim:
u = a,u1 + b,u2
Substituindo os vetores, temos:
(2,5) = a,(1,2) + b,(3,5)

Passo 3

Agora, vamos distribuir os coeficientes dentro dos vetores:
(2,5) = (a times 1, , a times 2) + (b times 3, , b times 5) = (a + 3b, , 2a + 5b)
Isso nos dá duas equações baseadas nas componentes dos vetores:
  1. Para a primeira coordenada:
    a + 3b = 2
  2. Para a segunda coordenada:
    2a + 5b = 5

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
a + 3b = 2 2a + 5b = 5
Vamos resolver esse sistema. Uma forma fácil é usar o método da substituição ou da combinação. Vamos optar pelo método da substituição.
Primeiro, da primeira equação, isolamos o a:
a = 2 - 3b

Passo 5

Agora, substituímos o valor de a na segunda equação:
2(2 - 3b) + 5b = 5
Resolvendo:
4 - 6b + 5b = 5 4 - b = 5 -b = 5 - 4 -b = 1 b = -1
Agora que encontramos b = -1, voltamos na expressão de a:
a = 2 - 3(-1) = 2 + 3 = 5

Resposta

Portanto, os coeficientes são a = 5 e b = -1, ou seja:
u = 5,u1 - 1,u2

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