Seja . Se , então , munido com as operações de adição usual e multiplicação por escalar , é um espaço vetorial sobre ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto , com a adição usual e uma nova definição de multiplicação por escalar, , forma um espaço vetorial sobre . Para resolver isso, precisamos revisar os axiomas dos espaços vetoriais e ver se eles são todos satisfeitos com essas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são os axiomas de um espaço vetorial:
  1. Fechamento na adição: A soma de dois vetores está no espaço.
  2. Comutatividade da adição: .
  3. Associatividade da adição: .
  4. Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero tal que .
  5. Existência de inversos aditivos: Para todo vetor , existe tal que .
  6. Fechamento na multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor por um escalar resulta em outro vetor no espaço.
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: .
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: .
  9. Associatividade da multiplicação por escalar: .
  10. Elemento neutro da multiplicação por escalar: .
Vamos verificar cada um deles com as operações dadas.

Passo 3

Axioma 1: Fechamento na adição
Como a adição é a usual em , somar dois vetores qualquer e resulta em , que claramente pertence a . Então, esse axioma está ok.

Passo 4

Axioma 2: Comutatividade da adição
Novamente, com a adição usual, temos , já que a soma de componentes é comutativa. Esse axioma também está satisfeito.

Passo 5

Axioma 3: Associatividade da adição
Para três vetores , a soma é igual a , pois a adição de números é associativa. Portanto, esse axioma é válido.

Passo 6

Axioma 4: Elemento neutro da adição
Existe o vetor zero tal que para qualquer em . Isso está correto.

Passo 7

Axioma 5: Existência de inversos aditivos
Para cada vetor , existe que satisfaz . Esse axioma também é atendido.

Passo 8

Axioma 6: Fechamento na multiplicação por escalar
Aqui começa a parada. A multiplicação por escalar foi definida como . Isso ainda resulta em um vetor em , então, em princípio, o fechamento está ok.

Passo 9

Axioma 7: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores
Vamos verificar se .
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Vemos que os dois lados são iguais, então esse axioma está satisfeito.

Passo 10

Axioma 8: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares
Vamos verificar se .
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Expandindo o lado esquerdo:
Então:
Comparando com o lado direito, notamos que falta o termo , então:
Portanto, esse axioma não é satisfeito.

Passo 11

Como um dos axiomas fundamentais dos espaços vetoriais não foi atendido, isso já é suficiente para concluir que com as operações dadas não é um espaço vetorial sobre .

Resposta

Não, com as operações definidas não é um espaço vetorial sobre .

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Seja . Se , então , munido com as operações de adição usual e multiplicação por escalar , é um espaço vetorial sobre ?
Escreva como uma combinação linear de e
(Obs: Isto é, achar tais que e resolver sistema linear)