Seja V=F^2. Se u=(x1, x2) in V, então V, munido com as operações de adição usual e multiplicação por escalar a odot u=(a^2 x1, a^2 x2), é um espaço vetorial sobre F?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto , com a adição usual e uma nova definição de multiplicação por escalar, , forma um espaço vetorial sobre . Para resolver isso, precisamos revisar os axiomas dos espaços vetoriais e ver se eles são todos satisfeitos com essas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são os axiomas de um espaço vetorial:
  1. Fechamento na adição: A soma de dois vetores está no espaço.
  2. Comutatividade da adição: .
  3. Associatividade da adição: .
  4. Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero tal que .
  5. Existência de inversos aditivos: Para todo vetor , existe tal que .
  6. Fechamento na multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor por um escalar resulta em outro vetor no espaço.
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: .
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: .
  9. Associatividade da multiplicação por escalar: .
  10. Elemento neutro da multiplicação por escalar: .
Vamos verificar cada um deles com as operações dadas.

Passo 3

Axioma 1: Fechamento na adição
Como a adição é a usual em , somar dois vetores qualquer e resulta em , que claramente pertence a . Então, esse axioma está ok.

Passo 4

Axioma 2: Comutatividade da adição
Novamente, com a adição usual, temos , já que a soma de componentes é comutativa. Esse axioma também está satisfeito.

Passo 5

Axioma 3: Associatividade da adição
Para três vetores , a soma é igual a , pois a adição de números é associativa. Portanto, esse axioma é válido.

Passo 6

Axioma 4: Elemento neutro da adição
Existe o vetor zero tal que para qualquer em . Isso está correto.

Passo 7

Axioma 5: Existência de inversos aditivos
Para cada vetor , existe que satisfaz . Esse axioma também é atendido.

Passo 8

Axioma 6: Fechamento na multiplicação por escalar
Aqui começa a parada. A multiplicação por escalar foi definida como . Isso ainda resulta em um vetor em , então, em princípio, o fechamento está ok.

Passo 9

Axioma 7: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores
Vamos verificar se a odot (u + v) = a odot (x1 + y1, x2 + y2) = (a^2(x1 + y1), a^2(x2 + y2)) .
Calculando o lado esquerdo:
a odot u + a odot v = (a^2x1, a^2x2) + (a^2y1, a^2y2) = (a^2x1 + a^2y1, a^2x2 + a^2y2)
Calculando o lado direito:
Vemos que os dois lados são iguais, então esse axioma está satisfeito.

Passo 10

Axioma 8: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares
Vamos verificar se (a + b) odot u = (a + b)^2 odot (x1, x2) = ((a + b)^2x1, (a + b)^2x2) .
Calculando o lado esquerdo:
a odot u + b odot u = (a^2x1, a^2x2) + (b^2x1, b^2x2) = (a^2x1 + b^2x1, a^2x2 + b^2x2)
Calculando o lado direito:
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Expandindo o lado esquerdo:
((a + b)^2x1, (a + b)^2x2) = (a^2x1 + 2abx1 + b^2x1, a^2x2 + 2abx2 + b^2x2)
Então:
(a + b) odot u neq a odot u + b odot u
Comparando com o lado direito, notamos que falta o termo , então:
Portanto, esse axioma não é satisfeito.

Passo 11

Como um dos axiomas fundamentais dos espaços vetoriais não foi atendido, isso já é suficiente para concluir que com as operações dadas não é um espaço vetorial sobre .

Resposta

Não, com as operações definidas não é um espaço vetorial sobre .

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