Seja
. Se
, então
, munido com as operações de adição usual e multiplicação por escalar
, é um espaço vetorial sobre
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto
, com a adição usual e uma nova definição de multiplicação por escalar,
, forma um espaço vetorial sobre
. Para resolver isso, precisamos revisar os axiomas dos espaços vetoriais e ver se eles são todos satisfeitos com essas operações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são os axiomas de um espaço vetorial:
- Fechamento na adição: A soma de dois vetores está no espaço.
- Comutatividade da adição:
. - Associatividade da adição:
. - Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero tal que
. - Existência de inversos aditivos: Para todo vetor
, existe tal que . - Fechamento na multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor por um escalar resulta em outro vetor no espaço.
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
. - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
. - Associatividade da multiplicação por escalar:
. - Elemento neutro da multiplicação por escalar:
.
Vamos verificar cada um deles com as operações dadas.
Passo 3
Axioma 1: Fechamento na adição
Como a adição é a usual em
, somar dois vetores qualquer
e
resulta em
, que claramente pertence a
. Então, esse axioma está ok.
Passo 4
Axioma 2: Comutatividade da adição
Novamente, com a adição usual, temos
, já que a soma de componentes é comutativa. Esse axioma também está satisfeito.
Passo 5
Axioma 3: Associatividade da adição
Para três vetores
, a soma
é igual a
, pois a adição de números é associativa. Portanto, esse axioma é válido.
Passo 6
Axioma 4: Elemento neutro da adição
Existe o vetor zero
tal que
para qualquer
em
. Isso está correto.
Passo 7
Axioma 5: Existência de inversos aditivos
Para cada vetor
, existe
que satisfaz
. Esse axioma também é atendido.
Passo 8
Axioma 6: Fechamento na multiplicação por escalar
Aqui começa a parada. A multiplicação por escalar foi definida como
. Isso ainda resulta em um vetor em
, então, em princípio, o fechamento está ok.
Passo 9
Axioma 7: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores
Vamos verificar se
.
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Vemos que os dois lados são iguais, então esse axioma está satisfeito.
Passo 10
Axioma 8: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares
Vamos verificar se
.
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Expandindo o lado esquerdo:
Então:
Comparando com o lado direito, notamos que falta o termo
, então:
Portanto, esse axioma não é satisfeito.
Passo 11
Como um dos axiomas fundamentais dos espaços vetoriais não foi atendido, isso já é suficiente para concluir que
com as operações dadas não é um espaço vetorial sobre
.
Resposta
Não,
com as operações definidas não é um espaço vetorial sobre
.