Seja . Se , então , munido com as operações de adição usual e multiplicação por escalar , é um espaço vetorial sobre ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto , com a adição usual e uma nova definição de multiplicação por escalar, , forma um espaço vetorial sobre . Para resolver isso, precisamos revisar os axiomas dos espaços vetoriais e ver se eles são todos satisfeitos com essas operações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são os axiomas de um espaço vetorial:
Fechamento na adição: A soma de dois vetores está no espaço.
Comutatividade da adição: .
Associatividade da adição: .
Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero tal que .
Existência de inversos aditivos: Para todo vetor , existe tal que .
Fechamento na multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor por um escalar resulta em outro vetor no espaço.
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: .
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: .
Associatividade da multiplicação por escalar: .
Elemento neutro da multiplicação por escalar: .
Vamos verificar cada um deles com as operações dadas.
Passo 3
Axioma 1: Fechamento na adição
Como a adição é a usual em , somar dois vetores qualquer e resulta em , que claramente pertence a . Então, esse axioma está ok.
Passo 4
Axioma 2: Comutatividade da adição
Novamente, com a adição usual, temos , já que a soma de componentes é comutativa. Esse axioma também está satisfeito.
Passo 5
Axioma 3: Associatividade da adição
Para três vetores , a soma é igual a , pois a adição de números é associativa. Portanto, esse axioma é válido.
Passo 6
Axioma 4: Elemento neutro da adição
Existe o vetor zero tal que para qualquer em . Isso está correto.
Passo 7
Axioma 5: Existência de inversos aditivos
Para cada vetor , existe que satisfaz . Esse axioma também é atendido.
Passo 8
Axioma 6: Fechamento na multiplicação por escalar
Aqui começa a parada. A multiplicação por escalar foi definida como . Isso ainda resulta em um vetor em , então, em princípio, o fechamento está ok.
Passo 9
Axioma 7: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores
Vamos verificar se .
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Vemos que os dois lados são iguais, então esse axioma está satisfeito.
Passo 10
Axioma 8: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares
Vamos verificar se .
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Expandindo o lado esquerdo:
Então:
Comparando com o lado direito, notamos que falta o termo , então:
Portanto, esse axioma não é satisfeito.
Passo 11
Como um dos axiomas fundamentais dos espaços vetoriais não foi atendido, isso já é suficiente para concluir que com as operações dadas não é um espaço vetorial sobre .
Resposta
Não, com as operações definidas não é um espaço vetorial sobre .