Sejam V=F^n e u=(x1, ldots, xn) in V. Verifique que se V munido com as operações de adição usual e multiplicação por escalar a odot u=(0, ldots, 0) é um espaço vetorial sobre F.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema: temos o conjunto e um vetor em . Queremos verificar se, ao usar a adição usual e definir a multiplicação por escalar , se torna um espaço vetorial sobre o campo . Para resolver isso, vamos lembrar dos axiomas de espaços vetoriais e verificar se eles são satisfeitos com essas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo precisa satisfazer certos axiomas, como a existência de um vetor nulo, a existência de inversos aditivos, a distributividade da multiplicação escalar, entre outros. Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações dadas.

Passo 3

Axioma 1: Fechamento da adição
A adição está definida para como a adição usual de vetores. Se e , então , que também está em . Portanto, esse axioma é satisfeito.

Passo 4

Axioma 2: Existência do vetor zero
O vetor zero em é . De fato, está em e servirá como o elemento neutro para a adição.

Passo 5

Axioma 3: Existência de inversos aditivos
Para qualquer vetor , o inverso aditivo é . Como a adição é usual, , então esse axioma também é satisfeito.

Passo 6

Axioma 4: Fechamento da multiplicação escalar
Aqui as coisas ficam interessantes. A multiplicação por escalar é definida como para todo escalar e vetor . Isso significa que, independentemente de e , o resultado sempre será o vetor zero. Precisamos verificar se isso satisfaz os axiomas.

Passo 7

Axioma 5: Distributividade da escalar sobre a adição de vetores
Normalmente, . Com nossa definição, ambos os lados seriam , então essa igualdade é verdadeira.

Passo 8

Axioma 6: Distributividade da escalar sobre a adição de escalares
Normalmente, . Com nossa definição, ambos os lados seriam , então essa igualdade também é verdadeira.

Passo 9

Axioma 7: Associatividade da multiplicação escalar
Normalmente, . Com nossa definição, ambos os lados seriam , então essa igualdade é verdadeira.

Passo 10

Axioma 8: Multiplicação por 1
Normalmente, . No nosso caso, , que só será igual a se . Portanto, esse axioma não é satisfeito para vetores diferentes de zero.

Resposta

Como o axioma da identidade multiplicativa não é satisfeito (pois para ), com as operações dadas não é um espaço vetorial sobre .

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