Sejam e . Verifique que se munido com as operações de adição usual e multiplicação por escalar é um espaço vetorial sobre .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema: temos o conjunto e um vetor em . Queremos verificar se, ao usar a adição usual e definir a multiplicação por escalar , se torna um espaço vetorial sobre o campo . Para resolver isso, vamos lembrar dos axiomas de espaços vetoriais e verificar se eles são satisfeitos com essas operações.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo precisa satisfazer certos axiomas, como a existência de um vetor nulo, a existência de inversos aditivos, a distributividade da multiplicação escalar, entre outros. Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações dadas.
Passo 3
Axioma 1: Fechamento da adição
A adição está definida para como a adição usual de vetores. Se e , então , que também está em . Portanto, esse axioma é satisfeito.
Passo 4
Axioma 2: Existência do vetor zero
O vetor zero em é . De fato, está em e servirá como o elemento neutro para a adição.
Passo 5
Axioma 3: Existência de inversos aditivos
Para qualquer vetor , o inverso aditivo é . Como a adição é usual, , então esse axioma também é satisfeito.
Passo 6
Axioma 4: Fechamento da multiplicação escalar
Aqui as coisas ficam interessantes. A multiplicação por escalar é definida como para todo escalar e vetor . Isso significa que, independentemente de e , o resultado sempre será o vetor zero. Precisamos verificar se isso satisfaz os axiomas.
Passo 7
Axioma 5: Distributividade da escalar sobre a adição de vetores
Normalmente, . Com nossa definição, ambos os lados seriam , então essa igualdade é verdadeira.
Passo 8
Axioma 6: Distributividade da escalar sobre a adição de escalares
Normalmente, . Com nossa definição, ambos os lados seriam , então essa igualdade também é verdadeira.
Passo 9
Axioma 7: Associatividade da multiplicação escalar
Normalmente, . Com nossa definição, ambos os lados seriam , então essa igualdade é verdadeira.
Passo 10
Axioma 8: Multiplicação por 1
Normalmente, . No nosso caso, , que só será igual a se . Portanto, esse axioma não é satisfeito para vetores diferentes de zero.
Resposta
Como o axioma da identidade multiplicativa não é satisfeito (pois para ), com as operações dadas não é um espaço vetorial sobre .