Sejam
e
. Verifique que se
munido com as operações de adição usual e multiplicação por escalar
é um espaço vetorial sobre
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema: temos o conjunto
e um vetor
em
. Queremos verificar se, ao usar a adição usual e definir a multiplicação por escalar
,
se torna um espaço vetorial sobre o campo
. Para resolver isso, vamos lembrar dos axiomas de espaços vetoriais e verificar se eles são satisfeitos com essas operações.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo
precisa satisfazer certos axiomas, como a existência de um vetor nulo, a existência de inversos aditivos, a distributividade da multiplicação escalar, entre outros. Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações dadas.
Passo 3
Axioma 1: Fechamento da adição
A adição está definida para
como a adição usual de vetores. Se
e
, então
, que também está em
. Portanto, esse axioma é satisfeito.
Passo 4
Axioma 2: Existência do vetor zero
O vetor zero em
é
. De fato,
está em
e servirá como o elemento neutro para a adição.
Passo 5
Axioma 3: Existência de inversos aditivos
Para qualquer vetor
, o inverso aditivo é
. Como a adição é usual,
, então esse axioma também é satisfeito.
Passo 6
Axioma 4: Fechamento da multiplicação escalar
Aqui as coisas ficam interessantes. A multiplicação por escalar é definida como
para todo escalar
e vetor
. Isso significa que, independentemente de
e
, o resultado sempre será o vetor zero. Precisamos verificar se isso satisfaz os axiomas.
Passo 7
Axioma 5: Distributividade da escalar sobre a adição de vetores
Normalmente,
. Com nossa definição, ambos os lados seriam
, então essa igualdade é verdadeira.
Passo 8
Axioma 6: Distributividade da escalar sobre a adição de escalares
Normalmente,
. Com nossa definição, ambos os lados seriam
, então essa igualdade também é verdadeira.
Passo 9
Axioma 7: Associatividade da multiplicação escalar
Normalmente,
. Com nossa definição, ambos os lados seriam
, então essa igualdade é verdadeira.
Passo 10
Axioma 8: Multiplicação por 1
Normalmente,
. No nosso caso,
, que só será igual a
se
. Portanto, esse axioma não é satisfeito para vetores diferentes de zero.
Resposta
Como o axioma da identidade multiplicativa não é satisfeito (pois
para
),
com as operações dadas não é um espaço vetorial sobre
.