Seja V=F^2. Se u=(x1, x2) in V, então V, munido com as operações de adição usual e multiplicação por escalar a odot u=(5 a x1, 5 a x2), é um espaço vetorial sobre F?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá um conjunto , que basicamente é um espaço com pares de números do campo (pode ser, por exemplo, os números reais). A gente quer saber se esse conjunto, com as operações de adição habitual e uma multiplicação por escalar , forma um espaço vetorial sobre . Para resolver isso, vamos precisar lembrar das axiomas de espaço vetorial e verificar se elas são satisfeitas com essas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde podemos fazer duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar, e essas operações precisam obedecer a certas regras chamadas axiomas. Vamos verificar alguns desses axiomas para ver se satisfaz as condições de ser um espaço vetorial.

Passo 3

Vamos começar verificando o axioma da associatividade da adição. Isso significa que, para quaisquer três vetores (u + v) + w = u + (v + w) , a soma deve obedecer:
Como estamos usando a adição usual em , que já é um espaço vetorial conhecido, esse axioma está satisfeito.

Passo 4

Agora, vamos verificar o axioma do elemento neutro. Existe um vetor u + 0 = u tal que, para qualquer vetor :
Na adição usual, o vetor zero é , e somar qualquer vetor com não altera o vetor original. Então, esse axioma também está satisfeito.

Passo 5

Vamos conferir o axioma da existência de inversos aditivos. Para cada vetor u + (-u) = 0 , existe um vetor tal que:
Com a adição usual, o inverso de é , que está em . Então, esse axioma também está ok.

Passo 6

Agora, vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores. Precisamos que, para qualquer escalar a odot (u + v) = a odot u + a odot v e vetores u + v = (x1 + y1, x2 + y2) :
a odot (u + v) = (5a(x1 + y1), 5a(x2 + y2))
Vamos calcular os dois lados:
a odot u + a odot v = (5a x1, 5a x2) + (5a y1, 5a y2) = (5a x1 + 5a y1, 5a x2 + 5a y2)
(5a(x1 + y1), 5a(x2 + y2)) = (5a x1 + 5a y1, 5a x2 + 5a y2)
Observamos que:
Então, esse axioma está satisfeito.

Passo 7

Vamos agora verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares. Precisamos que, para quaisquer escalares (a + b) odot u = a odot u + b odot u e vetor (a + b) odot u = (5(a + b) x1, 5(a + b) x2) = (5a x1 + 5b x1, 5a x2 + 5b x2) :
a odot u + b odot u = (5a x1, 5a x2) + (5b x1, 5b x2) = (5a x1 + 5b x1, 5a x2 + 5b x2)
Calculando os dois lados:
Como os dois lados são iguais, esse axioma também está atendido.

Passo 8

Vamos verificar o axioma da compatibilidade da multiplicação por escalares. Para qualquer escalar a odot (b odot u) = (ab) odot u e vetor b odot u = (5b x1, 5b x2) :
a odot (b odot u) = (5a cdot 5b x1, 5a cdot 5b x2) = (25ab x1, 25ab x2)
Vamos calcular ambos os lados:
(ab) odot u = (5ab x1, 5ab x2)
(25ab x1, 25ab x2) neq (5ab x1, 5ab x2)
Comparando:
Aqui, a igualdade não se mantém, pois (a não ser que , o que nem sempre acontece).

Passo 9

Como vimos no passo anterior, o axioma da compatibilidade da multiplicação por escalares não é satisfeito. Isso significa que, mesmo que outros axiomas fossem satisfeitos, a falta de um axioma já impede que seja um espaço vetorial sob essas operações.

Resposta

Não, munido das operações de adição usual e da multiplicação por escalar definida como não é um espaço vetorial sobre , pois não satisfaz todos os axiomas necessários, especificamente o da compatibilidade da multiplicação por escalares.

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