Seja . Se , então , munido com as operações de adição usual e multiplicação por escalar , é um espaço vetorial sobre ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá um conjunto , que basicamente é um espaço com pares de números do campo (pode ser, por exemplo, os números reais). A gente quer saber se esse conjunto, com as operações de adição habitual e uma multiplicação por escalar , forma um espaço vetorial sobre . Para resolver isso, vamos precisar lembrar das axiomas de espaço vetorial e verificar se elas são satisfeitas com essas operações.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde podemos fazer duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar, e essas operações precisam obedecer a certas regras chamadas axiomas. Vamos verificar alguns desses axiomas para ver se satisfaz as condições de ser um espaço vetorial.
Passo 3
Vamos começar verificando o axioma da associatividade da adição. Isso significa que, para quaisquer três vetores , a soma deve obedecer:
Como estamos usando a adição usual em , que já é um espaço vetorial conhecido, esse axioma está satisfeito.
Passo 4
Agora, vamos verificar o axioma do elemento neutro. Existe um vetor tal que, para qualquer vetor :
Na adição usual, o vetor zero é , e somar qualquer vetor com não altera o vetor original. Então, esse axioma também está satisfeito.
Passo 5
Vamos conferir o axioma da existência de inversos aditivos. Para cada vetor , existe um vetor tal que:
Com a adição usual, o inverso de é , que está em . Então, esse axioma também está ok.
Passo 6
Agora, vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores. Precisamos que, para qualquer escalar e vetores :
Vamos calcular os dois lados:
Observamos que:
Então, esse axioma está satisfeito.
Passo 7
Vamos agora verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares. Precisamos que, para quaisquer escalares e vetor :
Calculando os dois lados:
Como os dois lados são iguais, esse axioma também está atendido.
Passo 8
Vamos verificar o axioma da compatibilidade da multiplicação por escalares. Para qualquer escalar e vetor :
Vamos calcular ambos os lados:
Comparando:
Aqui, a igualdade não se mantém, pois (a não ser que , o que nem sempre acontece).
Passo 9
Como vimos no passo anterior, o axioma da compatibilidade da multiplicação por escalares não é satisfeito. Isso significa que, mesmo que outros axiomas fossem satisfeitos, a falta de um axioma já impede que seja um espaço vetorial sob essas operações.
Resposta
Não, munido das operações de adição usual e da multiplicação por escalar definida como não é um espaço vetorial sobre , pois não satisfaz todos os axiomas necessários, especificamente o da compatibilidade da multiplicação por escalares.