Seja
. Se
, então
, munido com as operações de adição usual e multiplicação por escalar
, é um espaço vetorial sobre
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá um conjunto
, que basicamente é um espaço com pares de números do campo
(pode ser, por exemplo, os números reais). A gente quer saber se esse conjunto, com as operações de adição habitual e uma multiplicação por escalar
, forma um espaço vetorial sobre
. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das axiomas de espaço vetorial e verificar se elas são satisfeitas com essas operações.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde podemos fazer duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar, e essas operações precisam obedecer a certas regras chamadas axiomas. Vamos verificar alguns desses axiomas para ver se
satisfaz as condições de ser um espaço vetorial.
Passo 3
Vamos começar verificando o axioma da associatividade da adição. Isso significa que, para quaisquer três vetores
, a soma deve obedecer:
Como estamos usando a adição usual em
, que já é um espaço vetorial conhecido, esse axioma está satisfeito.
Passo 4
Agora, vamos verificar o axioma do elemento neutro. Existe um vetor
tal que, para qualquer vetor
:
Na adição usual, o vetor zero é
, e somar qualquer vetor com
não altera o vetor original. Então, esse axioma também está satisfeito.
Passo 5
Vamos conferir o axioma da existência de inversos aditivos. Para cada vetor
, existe um vetor
tal que:
Com a adição usual, o inverso de
é
, que está em
. Então, esse axioma também está ok.
Passo 6
Agora, vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores. Precisamos que, para qualquer escalar
e vetores
:
Vamos calcular os dois lados:
Observamos que:
Então, esse axioma está satisfeito.
Passo 7
Vamos agora verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares. Precisamos que, para quaisquer escalares
e vetor
:
Calculando os dois lados:
Como os dois lados são iguais, esse axioma também está atendido.
Passo 8
Vamos verificar o axioma da compatibilidade da multiplicação por escalares. Para qualquer escalar
e vetor
:
Vamos calcular ambos os lados:
Comparando:
Aqui, a igualdade não se mantém, pois
(a não ser que
, o que nem sempre acontece).
Passo 9
Como vimos no passo anterior, o axioma da compatibilidade da multiplicação por escalares não é satisfeito. Isso significa que, mesmo que outros axiomas fossem satisfeitos, a falta de um axioma já impede que
seja um espaço vetorial sob essas operações.
Resposta
Não,
munido das operações de adição usual e da multiplicação por escalar definida como
não é um espaço vetorial sobre
, pois não satisfaz todos os axiomas necessários, especificamente o da compatibilidade da multiplicação por escalares.