Escreva v=(2,5) como uma combinação linear de u1 e u2, sendo
(b) u1=(3,-4) e u2=(2,-3).

Passo 1

Beleza, a gente precisa escrever o vetor v = (2,5) como uma combinação linear dos vetores u1 = (3,-4) e u2 = (2,-3). Isso envolve encontrar números que, quando multiplicados pelos vetores u1 e u2 e somados, resultem no vetor v. Pra isso, vamos usar o que a gente aprendeu sobre sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação da combinação linear:
a cdot u1 + b cdot u2 = v
Substituindo os valores dos vetores, fica:
a cdot (3, -4) + b cdot (2, -3) = (2, 5)
O que significa que:
(3a + 2b, -4a - 3b) = (2, 5)
Isso nos dá duas equações:
3a + 2b = 2 (1)
-4a - 3b = 5 (2)

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Vou usar o método da substituição. Da equação (1), podemos isolar a:
3a + 2b = 2 3a = 2 - 2b a = 2 - 2b3

Passo 4

Agora, substituímos o valor de a na equação (2):
-4(2 - 2b3) - 3b = 5 -8 + 8b3 - 3b = 5
Para facilitar, vamos multiplicar todos os termos por 3 para eliminar o denominador:
-8 + 8b - 9b = 15 -8 - b = 15
Então:
-b = 15 + 8 -b = 23 b = -23

Passo 5

Agora que temos b = -23, voltamos à expressão que encontramos para a:
a = 2 - 2b3 a = 2 - 2(-23)3 a = 2 + 463 a = 483 a = 16

Resposta

Portanto, v = (2,5) pode ser escrito como:
v = 16 cdot u1 - 23 cdot u2

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