Sendo det A=|llla1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3 c1 & c2 & c3|=-4, determinar o determinante das matrizes indicadas, utilizando as propriedades relativas:
D=[ccca1 & a2 & a3 b1+3 c1 & b2+3 c2 & b3+3 c3 c1 & c2 & c3]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá o determinante de uma matriz de 3x3, que é . A gente precisa encontrar o determinante de outra matriz , que é parecida com mas com uma pequena modificação na segunda linha. Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades dos determinantes que nos ajudam a entender como operações nas linhas da matriz afetam o valor do determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a matriz D = a1 & a2 & a3 b1 + 3c1 & b2 + 3c2 & b3 + 3c3 c1 & c2 & c3 :
A segunda linha de é . Isso significa que a segunda linha de é a soma da segunda linha de com 3 vezes a terceira linha de .

Passo 3

Uma propriedade importante dos determinantes diz que se você substituir uma linha de uma matriz pela soma dessa linha com um múltiplo de outra linha, o determinante da nova matriz é igual ao determinante da matriz original. Matemáticamente, isso pode ser escrito assim:
det Linha 1 Linha 2 + k times Linha 3 Linha 3 = detitação original çã
No nosso caso, , então essa operação não muda o determinante.

Passo 4

Portanto, como a única modificação que fizemos na matriz para obter foi adicionar 3 vezes a terceira linha à segunda linha, o determinante de é igual ao determinante de .

Resposta

O determinante de é .

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