Usar o desenvolvimento de Laplace para calcular os seguintes determinantes:
Passo 1
Beleza, vamos calcular o determinante da matriz
usando o desenvolvimento de Laplace. O determinante é um número que nos dá informações importantes sobre a matriz, como se ela é inversível. Para resolver isso, vamos usar a expansão de Laplace, que envolve calcular menores e cofatores.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz
B = 2 & 0 & 1 & 1 0 & -1 & 0 & 1 1 & 0 & 4 & 0 -1 & 2 & 1 & 5 :
Passo 3
Para facilitar os cálculos, vamos escolher a primeira linha para expandir, já que ela tem um zero, o que simplifica um pouco as contas.
Passo 4
A fórmula da expansão de Laplace para a primeira linha é:
onde
são os elementos da matriz e
são os cofatores.
Passo 5
Vamos calcular cada termo:
-
-
(como é zero, esse termo será zero) -
-
Passo 6
Agora, precisamos calcular os cofatores
,
e
.
Passo 7
Cofator
-1 & 0 & 1 0 & 4 & 0 2 & 1 & 5 :
Removemos a primeira linha e a primeira coluna:
O determinante desse menor é:
Então,
.
Passo 8
Cofator
0 & -1 & 1 1 & 0 & 0 -1 & 2 & 5 :
Removemos a primeira linha e a terceira coluna:
O determinante desse menor é:
Então,
.
Passo 9
Cofator
0 & -1 & 0 1 & 0 & 4 -1 & 2 & 1 :
Removemos a primeira linha e a quarta coluna:
O determinante desse menor é:
Então,
.
Passo 10
Agora, substituímos os valores na fórmula da expansão de Laplace:
Resposta
O determinante da matriz
é
.