Suponha que o polinômio característico de alguma matriz seja . Em cada parte, responda a pergunta e explique seu raciocínio.
(a) O que pode ser dito sobre as dimensões dos autoespaços de ?
(b) O que pode ser dito sobre as dimensões dos autoespaços sabendo que é diagonalizável?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá o polinômio característico de uma matriz , que é . Estamos trabalhando com autovetores e autoespaços, que fazem parte da matéria de álgebra linear. Para resolver as perguntas, precisamos entender o que cada fator do polinômio característico nos diz sobre os autovalores de e as dimensões dos respectivos autoespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os autovalores de . São os valores de que tornam o polinômio característico igual a zero. Neste caso, temos três autovalores:
com multiplicidade algébrica 2
com multiplicidade algébrica 2
com multiplicidade algébrica 4
A multiplicidade algébrica de um autovalor é o expoente de seu fator no polinômio característico.
Passo 3
Agora, sobre os autoespaços. O autoespaço associado a um autovalor é o conjunto de vetores próprios (autovetores) correspondentes a esse autovalor, juntamente com o vetor zero. A dimensão desse autoespaço é chamada de multiplicidade geométrica do autovalor.
Em geral, a multiplicidade geométrica de um autovalor é pelo menos 1 e no máximo igual à sua multiplicidade algébrica. Ou seja, para cada autovalor:
Passo 4
Respondendo à parte (a): O que pode ser dito sobre as dimensões dos autoespaços de ?
Como não temos mais informações sobre a matriz além do polinômio característico, podemos dizer que:
Para , a dimensão do autoespaço é pelo menos 1 e no máximo 2.
Para , a dimensão do autoespaço é pelo menos 1 e no máximo 2.
Para , a dimensão do autoespaço é pelo menos 1 e no máximo 4.
Em termos matemáticos:
onde representa o autoespaço associado a .
Passo 5
Agora, para a parte (b): O que pode ser dito sobre as dimensões dos autoespaços sabendo que é diagonalizável?
Uma matriz é diagonalizável se, e somente se, a soma das multiplicidades geométricas dos seus autovalores for igual à dimensão da matriz, e cada multiplicidade geométrica for igual à sua multiplicidade algébrica.
Isso significa que, se é diagonalizável:
Para ,
Para ,
Para ,
Resposta
(a) As dimensões dos autoespaços de para cada autovalor são pelo menos 1 e no máximo iguais às suas multiplicidades algébricas. Ou seja:
(b) Sabendo que é diagonalizável, as dimensões dos autoespaços são iguais às multiplicidades algébricas dos respectivos autovalores. Assim: