Escreva o vetor
como combinação linear na base ortonormal
de
abaixo com o produto interno indicado:
com relação à base ortonormal
de
, no produto interno
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa escrever o vetor
como uma combinação linear dos vetores da base ortonormal
no espaço
. Para isso, vamos usar conceitos de bases ortonormais, produto interno e combinação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma base ortonormal. Uma base é ortonormal se os vetores são unitários (isto é, têm norma igual a 1) e são perpendiculares entre si (o produto interno entre vetores diferentes é zero). No nosso caso, a base
já é dada como ortonormal com respeito ao produto interno definido por:
Passo 3
Como a base é ortonormal, os coeficientes da combinação linear podem ser encontrados utilizando o produto interno entre o vetor
e cada vetor da base. Ou seja, queremos encontrar escalar
e
tais que:
Passo 4
Para encontrar
, calculamos o produto interno de
com o primeiro vetor da base:
Resolvendo a integral:
Passo 5
Agora, para encontrar
, calculamos o produto interno de
com o segundo vetor da base:
Primeiro, expandimos o produto:
Agora, resolvemos a integral:
Calculando dentro dos parênteses:
Então:
Resposta
Portanto, o vetor
escrito como combinação linear na base ortonormal
é:
Simplificando:
O que confirma que nossa combinação linear está correta!