Escreva o vetor v in V como combinação linear na base ortonormal beta de V abaixo com o produto interno indicado: v=1+t in P1(R) com relação à base ortonormal beta=1, raiz3(2 t-1) de P1(R), no produto interno
lang<= h1, h2rang<==integral0^1 h1(t) h2(t) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa escrever o vetor como uma combinação linear dos vetores da base ortonormal no espaço . Para isso, vamos usar conceitos de bases ortonormais, produto interno e combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma base ortonormal. Uma base é ortonormal se os vetores são unitários (isto é, têm norma igual a 1) e são perpendiculares entre si (o produto interno entre vetores diferentes é zero). No nosso caso, a base lang<= h1, h2 rang<= = integral0^1 h1(t) h2(t) , dt já é dada como ortonormal com respeito ao produto interno definido por:

Passo 3

Como a base é ortonormal, os coeficientes da combinação linear podem ser encontrados utilizando o produto interno entre o vetor v = c1 cdot 1 + c2 cdot raiz3(2t - 1) e cada vetor da base. Ou seja, queremos encontrar escalar e tais que:

Passo 4

Para encontrar c1 = lang<= v, 1 rang<= = integral0^1 (1 + t) cdot 1 , dt , calculamos o produto interno de c1 = integral0^1 (1 + t) , dt = [ t + t^22 ]0^1 = (1 + 12) - (0 + 0) = 32 com o primeiro vetor da base:
Resolvendo a integral:

Passo 5

Agora, para encontrar c2 = lang<= v, raiz3(2t - 1) rang<= = raiz3 integral0^1 (1 + t)(2t - 1) , dt , calculamos o produto interno de (1 + t)(2t - 1) = 2t - 1 + 2t^2 - t = 2t^2 + t - 1 com o segundo vetor da base:
c2 = raiz3 integral0^1 (2t^2 + t - 1) , dt = raiz3 [ 2t^33 + t^22 - t ]0^1 = raiz3 ( 23 + 12 - 1 )
Primeiro, expandimos o produto:
23 + 12 - 1 = 46 + 36 - 66 = 16
Agora, resolvemos a integral:
c2 = raiz3 cdot 16 = raiz36
Calculando dentro dos parênteses:
Então:

Resposta

Portanto, o vetor v = 32 cdot 1 + raiz36 cdot raiz3(2t - 1) = 32 cdot 1 + 12(2t - 1) = 32 + t - 12 escrito como combinação linear na base ortonormal v = t + 1 é:
Simplificando:
O que confirma que nossa combinação linear está correta!

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