Use o Processo de Ortonalização de Gram-Schmidt para ortonormalizar a base alpha subset V no produto interno indicado: alpha=(1,2),(1,3), com produto interno usual de R^2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto de vetores alpha = (1,2), (1,3) no espaço R^2 com o produto interno usual. Nosso objetivo é usar o Processo de Ortonormalização de Gram-Schmidt para transformar essa base em uma base ortonormal. Isso significa que vamos ajustar os vetores para que eles sejam todos “perpendiculares” entre si (ortogonais) e com comprimento 1 (normalizados). Para isso, vamos precisar entender como o Gram-Schmidt funciona e aplicar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos pegar o primeiro vetor da nossa base original, que é v1 = (1,2). No processo de Gram-Schmidt, o primeiro vetor da base ortonormal será simplesmente o vetor original normalizado. Para normalizar um vetor, dividimos ele pelo seu comprimento (ou norma).
A fórmula para a norma de um vetor v = (a,b) é:
|v| = raiza^2 + b^2
Então, vamos calcular a norma de v1:
|v1| = raiz1^2 + 2^2 = raiz1 + 4 = raiz5
Agora, normalizamos v1 dividindo cada componente pelo comprimento:
u1 = v1|v1| = ( 1raiz5, 2raiz5 )

Passo 3

Agora vamos para o segundo vetor, v2 = (1,3). O objetivo é torná-lo ortogonal ao primeiro vetor ortonormal u1 que acabamos de encontrar. Para isso, usamos a fórmula de Gram-Schmidt:
u2' = v2 - proju1(v2)
Onde proju1(v2) é a projeção de v2 em u1. A fórmula para a projeção é:
proju1(v2) = ( v2 cdot u1u1 cdot u1 ) u1
Primeiro, vamos calcular o produto interno (ponto) entre v2 e u1:
v2 cdot u1 = (1)(1raiz5) + (3)(2raiz5) = 1raiz5 + 6raiz5 = 7raiz5
Como u1 já é um vetor unitário, u1 cdot u1 = 1. Então:
proju1(v2) = 7raiz5 cdot ( 1raiz5, 2raiz5 ) = ( 75, 145 )
Agora, subtraímos essa projeção de v2 para obter u2':
u2' = v2 - proju1(v2) = (1 - 75, 3 - 145) = ( -25, 15 )

Passo 4

O próximo passo é normalizar u2' para obter o segundo vetor ortonormal u2. Primeiro, calculamos a norma de u2':
|u2'| = raiz(-25)^2 + (15)^2 = raiz425 + 125 = raiz525 = raiz15 = 1raiz5
Agora, normalizamos u2' dividindo cada componente pela sua norma:
u2 = u2'|u2'| = ( -25 cdot raiz5, 15 cdot raiz5 ) = ( -2raiz55, raiz55 )
Podemos simplificar as frações:
u2 = ( -2raiz5, 1raiz5 )

Resposta

A base ortonormal obtida pelo Processo de Gram-Schmidt é:
( 1raiz5, 2raiz5 ), ( -2raiz5, 1raiz5 )

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