Use o Processo de Ortonalização de Gram-Schmidt para ortonormalizar a base
no produto interno indicado:
, com produto interno usual de
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto de vetores
no espaço
com o produto interno usual. Nosso objetivo é usar o Processo de Ortonormalização de Gram-Schmidt para transformar essa base em uma base ortonormal. Isso significa que vamos ajustar os vetores para que eles sejam todos “perpendiculares” entre si (ortogonais) e com comprimento 1 (normalizados). Para isso, vamos precisar entender como o Gram-Schmidt funciona e aplicar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos pegar o primeiro vetor da nossa base original, que é
. No processo de Gram-Schmidt, o primeiro vetor da base ortonormal será simplesmente o vetor original normalizado. Para normalizar um vetor, dividimos ele pelo seu comprimento (ou norma).
A fórmula para a norma de um vetor
é:
Então, vamos calcular a norma de
:
Agora, normalizamos
dividindo cada componente pelo comprimento:
Passo 3
Agora vamos para o segundo vetor,
. O objetivo é torná-lo ortogonal ao primeiro vetor ortonormal
que acabamos de encontrar. Para isso, usamos a fórmula de Gram-Schmidt:
Onde
é a projeção de
em
. A fórmula para a projeção é:
Primeiro, vamos calcular o produto interno (ponto) entre
e
:
Como
já é um vetor unitário,
. Então:
Agora, subtraímos essa projeção de
para obter
:
Passo 4
O próximo passo é normalizar
para obter o segundo vetor ortonormal
. Primeiro, calculamos a norma de
:
Agora, normalizamos
dividindo cada componente pela sua norma:
Podemos simplificar as frações:
Resposta
A base ortonormal obtida pelo Processo de Gram-Schmidt é: