Escreva o vetor v=lang<= 0,7,6,-3rang<= como combinação linear dos vetores.
a) a=lang<= 1,2,-1,0rang<=, b=lang<= 2,3,4,1rang<= e c=lang<= 1,3,5,0rang<=

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para escrever o vetor v = lang<= 0,7,6,-3 rang<= como uma combinação linear dos vetores a = lang<= 1,2,-1,0 rang<=, b = lang<= 2,3,4,1 rang<= e c = lang<= 1,3,5,0 rang<=. Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente em combinações lineares de vetores. Para resolver, vamos precisar montar um sistema de equações que relaciona os componentes dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Queremos encontrar escalares x, y e z tais que:
v = xa + yb + zc
Isso significa que cada componente de v é igual à soma das correspondentes componentes de a, b e c multiplicadas por x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Vamos escrever isso componente por componente:
x cdot 1 + y cdot 2 + z cdot 1 = 0 x cdot 2 + y cdot 3 + z cdot 3 = 7 x cdot (-1) + y cdot 4 + z cdot 5 = 6 x cdot 0 + y cdot 1 + z cdot 0 = -3
Essas são as equações que vamos resolver para encontrar x, y e z.

Passo 4

Vamos observar a quarta equação:
0x + 1y + 0z = -3 implies y = -3
Já conseguimos o valor de y!

Passo 5

Agora que temos y = -3, substituímos esse valor nas outras equações para encontrar x e z.
Substituindo na primeira equação:
x cdot 1 + (-3) cdot 2 + z cdot 1 = 0 x - 6 + z = 0 x + z = 6 (1)

Passo 6

Substituindo y = -3 na segunda equação:
x cdot 2 + (-3) cdot 3 + z cdot 3 = 7 2x - 9 + 3z = 7 2x + 3z = 16 (2)

Passo 7

Substituindo y = -3 na terceira equação:
x cdot (-1) + (-3) cdot 4 + z cdot 5 = 6 - x - 12 + 5z = 6 - x + 5z = 18 (3)

Passo 8

Agora temos as equações (1), (2) e (3):
x + z = 6 (1) 2x + 3z = 16 (2) - x + 5z = 18 (3)
Vamos resolver esse sistema para encontrar x e z.

Passo 9

Vamos resolver a equação (1) para x:
x = 6 - z
Agora, substituímos x = 6 - z na equação (2):
2(6 - z) + 3z = 16 12 - 2z + 3z = 16 12 + z = 16 z = 4

Passo 10

Com z = 4, substituímos na equação para x:
x = 6 - 4 = 2

Passo 11

Agora temos todos os valores:
x = 2, y = -3, z = 4

Resposta

A combinação linear é:
v = 2,a - 3,b + 4,c

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