Escreva o vetor
como combinação linear na base ortonormal
de
abaixo com o produto interno indicado:
com relação à base ortonormal
, no produto interno usual do
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de combinação linear! O enunciado pede para escrever o vetor
como uma combinação linear na base ortonormal
de
, que é dada por
. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base ortonormal e como usar o produto interno para encontrar os coeficientes dessa combinação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma base ortonormal é um conjunto de vetores que são mutuamente ortogonais (ou seja, o produto interno entre eles é zero) e que têm norma igual a 1. No nosso caso, os vetores da base
já são ortonormais em relação ao produto interno usual em
.
Passo 3
Agora, queremos expressar o vetor
como uma combinação linear dos vetores da base
. Ou seja, queremos encontrar números escalares
e
tais que:
Passo 4
Para encontrar os coeficientes
e
, vamos usar o fato de que, em uma base ortonormal, cada coeficiente é o produto interno de
com o respectivo vetor da base. Ou seja:
Passo 5
Calculando
:
Calculando
:
Passo 6
Então, substituindo os valores de
e
na combinação linear, temos:
Resposta
A combinação linear do vetor
na base ortonormal
é: