Escreva o vetor v in V como combinação linear na base ortonormal beta de V abaixo com o produto interno indicado: v=(2,3) in R^2 com relação à base ortonormal beta=(cos (theta), sin (theta)),(-sin (theta), cos (theta)), no produto interno usual do R^2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de combinação linear! O enunciado pede para escrever o vetor como uma combinação linear na base ortonormal de , que é dada por . Para isso, vamos precisar entender o que é uma base ortonormal e como usar o produto interno para encontrar os coeficientes dessa combinação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma base ortonormal é um conjunto de vetores que são mutuamente ortogonais (ou seja, o produto interno entre eles é zero) e que têm norma igual a 1. No nosso caso, os vetores da base já são ortonormais em relação ao produto interno usual em .

Passo 3

Agora, queremos expressar o vetor v = a cdot (cos(theta), sin(theta)) + b cdot (-sin(theta), cos(theta)) como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja, queremos encontrar números escalares e tais que:

Passo 4

Para encontrar os coeficientes a = v cdot (cos(theta), sin(theta)) e b = v cdot (-sin(theta), cos(theta)) , vamos usar o fato de que, em uma base ortonormal, cada coeficiente é o produto interno de com o respectivo vetor da base. Ou seja:

Passo 5

Calculando a = (2, 3) cdot (cos(theta), sin(theta)) = 2cos(theta) + 3sin(theta) :
b = (2, 3) cdot (-sin(theta), cos(theta)) = -2sin(theta) + 3cos(theta)
Calculando :

Passo 6

Então, substituindo os valores de v = (2cos(theta) + 3sin(theta)) cdot (cos(theta), sin(theta)) + (-2sin(theta) + 3cos(theta)) cdot (-sin(theta), cos(theta)) e na combinação linear, temos:

Resposta

A combinação linear do vetor v = (2cos(theta) + 3sin(theta)) cdot (cos(theta), sin(theta)) + (-2sin(theta) + 3cos(theta)) cdot (-sin(theta), cos(theta)) na base ortonormal é:

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