Escreva o vetor v in V como combinação linear na base ortonormal beta de V abaixo com o produto interno indicado: v=(2,3) in R^2 com relação à base canônica beta=(1,0),(0,1), no produto interno usual do R^2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para escrever o vetor v = (2,3) como uma combinação linear na base ortonormal beta = (1,0), (0,1) do espaço R^2. A gente vai usar conceitos de combinação linear e bases ortonormais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, uma combinação linear significa que a gente vai expressar o vetor v como soma de múltiplos dos vetores da base beta. No caso, queremos encontrar escalares a e b tais que:
v = a(1,0) + b(0,1)

Passo 3

Como a base beta é ortonormal e coincide com a base canônica, os coeficientes a e b são simplesmente as coordenadas do vetor v. Isso porque, em uma base ortonormal, cada componente do vetor já representa o quanto de cada vetor da base está presente na combinação.

Passo 4

Então, olhando para o vetor v = (2,3), vemos que a primeira componente é 2 e a segunda é 3. Portanto, a = 2 e b = 3. Substituindo na combinação linear:
v = 2(1,0) + 3(0,1)

Resposta

A combinação linear do vetor v na base beta é:
v = 2(1,0) + 3(0,1)

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