Escreva o vetor
como combinação linear na base ortonormal
de
abaixo com o produto interno indicado:
com relação à base canônica
, no produto interno usual do
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para escrever o vetor
como uma combinação linear na base ortonormal
do espaço
. A gente vai usar conceitos de combinação linear e bases ortonormais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, uma combinação linear significa que a gente vai expressar o vetor
como soma de múltiplos dos vetores da base
. No caso, queremos encontrar escalares
e
tais que:
Passo 3
Como a base
é ortonormal e coincide com a base canônica, os coeficientes
e
são simplesmente as coordenadas do vetor
. Isso porque, em uma base ortonormal, cada componente do vetor já representa o quanto de cada vetor da base está presente na combinação.
Passo 4
Então, olhando para o vetor
, vemos que a primeira componente é
e a segunda é
. Portanto,
e
. Substituindo na combinação linear:
Resposta
A combinação linear do vetor
na base
é: