Escreva o vetor
do
como combinação linear dos vetores
, se possível.
Passo 1
Então, temos que escrever o vetor
como uma combinação linear dos vetores
,
e
. Isso significa que queremos encontrar números
,
e
tais que:
Vamos precisar montar um sistema de equações para descobrir esses valores.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação da combinação linear componente por componente. Isso nos dá:
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Aqui, vou usar o método de eliminação para simplificar.
Primeiro, vamos isolar uma das variáveis. Vou isolar
a = 2 - 2b + c na primeira equação:
Agora, substituímos essa expressão de
nas outras duas equações.
Passo 4
Substituindo
-3(2 - 2b + c) - 4b + 5c = -5 na segunda equação:
Distribuindo o
(6b - 4b) + (-3c + 5c) - 6 = -5 2b + 2c - 6 = -5 2b + 2c = 1 b + c = 12 (Dividindo por 2) :
Combinando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, substituímos
2(2 - 2b + c) + b + 7c = 3 na terceira equação:
Distribuindo o 2:
Combinando os termos semelhantes:
Passo 6
Agora temos um sistema com duas equações:
Vamos somar as duas equações para eliminar
(b - b) + (c + 3c) = 12 - 13 4c = 36 - 26 4c = 16 c = 124 :
Passo 7
Agora que encontramos
b + 124 = 12 b = 12 - 124 b = 1224 - 124 b = 1124 , substituímos esse valor na equação
:
Passo 8
Finalmente, substituímos
a = 2 - 2b + c a = 2 - 2(1124) + 124 a = 2 - 2224 + 124 a = 2 - 2124 a = 2 - 78 a = 168 - 78 a = 98 e
na expressão de
:
Resposta
Portanto, o vetor
v = 98u1 + 1124u2 + 124u3 pode ser escrito como combinação linear dos vetores
,
e
da seguinte forma: