Escreva o vetor v=(2,-5,3) do R^3 como combinação linear dos vetores u1=(1,-3,2), u2= (2,-4,1), u3=(-1,5,7), se possível.

Passo 1

Então, temos que escrever o vetor au1 + bu2 + cu3 = v como uma combinação linear dos vetores , e . Isso significa que queremos encontrar números , e tais que:
Vamos precisar montar um sistema de equações para descobrir esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação da combinação linear componente por componente. Isso nos dá:
a(1) + b(2) + c(-1) = 2 (componente x)
a(-3) + b(-4) + c(5) = -5 (componente y)
a(2) + b(1) + c(7) = 3 (componente z)
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:
a + 2b - c = 2 -3a - 4b + 5c = -5 2a + b + 7c = 3

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Aqui, vou usar o método de eliminação para simplificar.
Primeiro, vamos isolar uma das variáveis. Vou isolar a = 2 - 2b + c na primeira equação:
Agora, substituímos essa expressão de nas outras duas equações.

Passo 4

Substituindo -3(2 - 2b + c) - 4b + 5c = -5 na segunda equação:
-6 + 6b - 3c - 4b + 5c = -5
Distribuindo o (6b - 4b) + (-3c + 5c) - 6 = -5 2b + 2c - 6 = -5 2b + 2c = 1 b + c = 12 (Dividindo por 2) :
Combinando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, substituímos 2(2 - 2b + c) + b + 7c = 3 na terceira equação:
4 - 4b + 2c + b + 7c = 3
Distribuindo o 2:
(-4b + b) + (2c + 7c) + 4 = 3 -3b + 9c + 4 = 3 -3b + 9c = -1 Dividindo toda a equação por 3:
Combinando os termos semelhantes:
-b + 3c = -13 çã

Passo 6

Agora temos um sistema com duas equações:
b + c = 12 -b + 3c = -13
Vamos somar as duas equações para eliminar (b - b) + (c + 3c) = 12 - 13 4c = 36 - 26 4c = 16 c = 124 :

Passo 7

Agora que encontramos b + 124 = 12 b = 12 - 124 b = 1224 - 124 b = 1124 , substituímos esse valor na equação :

Passo 8

Finalmente, substituímos a = 2 - 2b + c a = 2 - 2(1124) + 124 a = 2 - 2224 + 124 a = 2 - 2124 a = 2 - 78 a = 168 - 78 a = 98 e na expressão de :

Resposta

Portanto, o vetor v = 98u1 + 1124u2 + 124u3 pode ser escrito como combinação linear dos vetores , e da seguinte forma:

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