Seja
um operador linear tal que
onde
í a base canenica de
e
. Prove que
preserva produto interno. Formula de cálulo da inversa caso
Se
entāo
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um operador linear
definido pela matriz
, onde
é a matriz identidade e
é uma matriz específica. Nosso objetivo é provar que esse operador
preserva o produto interno. Para isso, vamos precisar calcular as matrizes envolvidas, encontrar a inversa de
usando a fórmula para matrizes
, e depois mostrar que
realmente mantém o produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as matrizes que temos. A matriz identidade
é:
E a matriz
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Isso é simples, subtraímos cada elemento de
de
:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular
, somando cada elemento de
a
:
Passo 5
Precisamos agora encontrar a inversa de
. Usando a fórmula para a inversa de uma matriz
:
Para
, o determinante é:
Então,
Passo 6
Agora, vamos multiplicar
pela inversa que acabamos de encontrar:
Fazendo a multiplicação:
Simplificando:
Passo 7
Para provar que
preserva o produto interno, precisamos verificar se
, ou seja, se a transposta de
multiplicada por
resulta na matriz identidade.
Primeiro, encontramos a transposta de
:
Agora, multiplicamos
por
:
Calculando cada elemento:
Simplificando:
Resposta
Então, mostramos que
, o que significa que o operador
preserva o produto interno. Portanto,
realmente preserva o produto interno.