Seja T: R^2 R^2 um operador linear tal que [T]B=(I d-A) cdot[(I d+A)]^-1 onde B í a base canenica de R^2 I d=(ll1 & 0 0 & 1) e A=(cc0 & 2 -2 & 0). Prove que T preserva produto interno. Formula de cálulo da inversa caso 2 times 2 Se A=(lla & b c & d) entāo A^-1=1d e t(A)(ccd & -b -c & a).

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um operador linear definido pela matriz , onde é a matriz identidade e é uma matriz específica. Nosso objetivo é provar que esse operador preserva o produto interno. Para isso, vamos precisar calcular as matrizes envolvidas, encontrar a inversa de usando a fórmula para matrizes , e depois mostrar que realmente mantém o produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as matrizes que temos. A matriz identidade Id = 1 & 0 0 & 1 é:
A = 0 & 2 -2 & 0
E a matriz é:

Passo 3

Agora, vamos calcular Id - A = 1 - 0 & 0 - 2 0 - (-2) & 1 - 0 = 1 & -2 2 & 1 . Isso é simples, subtraímos cada elemento de de :

Passo 4

Em seguida, vamos calcular Id + A = 1 + 0 & 0 + 2 0 + (-2) & 1 + 0 = 1 & 2 -2 & 1 , somando cada elemento de a :

Passo 5

Precisamos agora encontrar a inversa de A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a . Usando a fórmula para a inversa de uma matriz 1 & 2 -2 & 1 :
det(Id + A) = (1)(1) - (2)(-2) = 1 + 4 = 5
Para (Id + A)^-1 = 15 1 & -2 2 & 1 , o determinante é:
Então,

Passo 6

Agora, vamos multiplicar [T]B = (Id - A) cdot (Id + A)^-1 = 1 & -2 2 & 1 cdot 15 1 & -2 2 & 1 pela inversa que acabamos de encontrar:
[T]B = 15 (1)(1) + (-2)(2) & (1)(-2) + (-2)(1) (2)(1) + (1)(2) & (2)(-2) + (1)(1) = 15 1 - 4 & -2 -2 2 + 2 & -4 + 1
Fazendo a multiplicação:
[T]B = 15 -3 & -4 4 & -3 = -35 & -45 45 & -35
Simplificando:

Passo 7

Para provar que [T]B^T = -35 & 45 -45 & -35 preserva o produto interno, precisamos verificar se [T]B^T [T]B = -35 & 45 -45 & -35 cdot -35 & -45 45 & -35 , ou seja, se a transposta de (-35)(-35) + (45)(45) & (-35)(-45) + (45)(-35) (-45)(-35) + (-35)(45) & (-45)(-45) + (-35)(-35) multiplicada por 925 + 1625 & 1225 - 1225 1225 - 1225 & 1625 + 925 = 2525 & 0 0 & 2525 = 1 & 0 0 & 1 = Id resulta na matriz identidade.
Primeiro, encontramos a transposta de :
Agora, multiplicamos por :
Calculando cada elemento:
Simplificando:

Resposta

Então, mostramos que , o que significa que o operador preserva o produto interno. Portanto, realmente preserva o produto interno.

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