Seja
, onde
. Mostre que se
é ortogonal à
eutāo
é um múltiplo de
.
Dica: escreva
cm funçào de
.
Dica: escreva
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma função linear
que pertence ao espaço de polinômios de grau no máximo 2, denotado por
. Queremos mostrar que, se
é ortogonal a
, então
é um múltiplo de
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de ortogonalidade em espaços de funções e manipular as equações para encontrar a relação entre
e
.
Passo 2
A ortogonalidade entre duas funções
e
significa que o produto interno delas é zero. O produto interno para polinômios geralmente é definido como a integral do produto das funções em um certo intervalo. Vamos assumir que o intervalo é de 0 a 1. Então, temos:
Passo 3
Substituindo
na integral, temos:
Vamos resolver essa integral.
Passo 4
Distribuindo os termos dentro da integral:
Simplificando as potências de
:
Passo 5
Calculando as integrais:
Substituindo de volta na equação:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa equação para relacionar
com
:
Multiplicando todos os termos por 12 para eliminar os denominadores:
Isolando
:
Passo 7
Agora que encontramos
em termos de
, podemos substituir de volta na expressão de
:
Isso mostra que
é um múltiplo de
.
Resposta
Portanto, se
é ortogonal a
, então
é um múltiplo de
.