Seja f(x)=a x+b in P2(R), onde a, b in R. Mostre que se f(t) é ortogonal à t^2 eutāo f(t) é um múltiplo de q(t)=t-34.
Dica: escreva b cm funçào de a.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma função linear que pertence ao espaço de polinômios de grau no máximo 2, denotado por . Queremos mostrar que, se é ortogonal a , então é um múltiplo de . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de ortogonalidade em espaços de funções e manipular as equações para encontrar a relação entre e .

Passo 2

A ortogonalidade entre duas funções lang<= f(t), t^2 rang<= = integral0^1 f(t) cdot t^2 , dt = 0 e significa que o produto interno delas é zero. O produto interno para polinômios geralmente é definido como a integral do produto das funções em um certo intervalo. Vamos assumir que o intervalo é de 0 a 1. Então, temos:

Passo 3

Substituindo integral0^1 (a t + b) t^2 , dt = 0 na integral, temos:
Vamos resolver essa integral.

Passo 4

Distribuindo os termos dentro da integral:
integral0^1 a t cdot t^2 , dt + integral0^1 b cdot t^2 , dt = 0
Simplificando as potências de a integral0^1 t^3 , dt + b integral0^1 t^2 , dt = 0 :

Passo 5

Calculando as integrais:
integral0^1 t^3 , dt = [ t^44 ]0^1 = 14
integral0^1 t^2 , dt = [ t^33 ]0^1 = 13
Substituindo de volta na equação:
a cdot 14 + b cdot 13 = 0

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação para relacionar a4 + b3 = 0 com 3a + 4b = 0 :
4b = -3a implies b = -34a
Multiplicando todos os termos por 12 para eliminar os denominadores:
Isolando :

Passo 7

Agora que encontramos f(t) = a t + b = a t - 34a = a ( t - 34 ) em termos de , podemos substituir de volta na expressão de :
Isso mostra que é um múltiplo de .

Resposta

Portanto, se é ortogonal a , então é um múltiplo de .

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