No , determine se os seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir se um conjunto de quatro vetores em é linearmente dependente ou não. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre dependência linear. Para resolver isso, vamos ver se existe uma combinação linear desses vetores que dá o vetor zero, usando métodos de sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa linearmente dependente. Um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um deles pode ser escrito como combinação dos outros. Para verificar isso, montamos uma matriz com os vetores como colunas e vamos resolver o sistema homogêneo .
Passo 3
Vamos montar a matriz com os vetores dados:
Como temos mais vetores (4) do que componentes (3), já suspeitamos que seja dependente, mas vamos confirmar.
Passo 4
Vamos reduzir essa matriz para a forma escalonada usando operações elementares. Nosso objetivo é encontrar se existe uma solução não trivial para 1 & 2 & 3 & 2 -3 & 0 & -1 & 4 7 & -6 & 1 & 6 .
Primeiro, usamos o primeiro elemento da primeira linha como pivô:
Passo 5
Eliminamos os elementos abaixo do pivô:
Linha 2 = Linha 2 + 3 * Linha 1
Linha 3 = Linha 3 - 7 * Linha 1
Fazendo isso:
1 & 2 & 3 & 2 0 & 6 & 8 & 10 0 & -20 & -20 & -8
Passo 6
Agora, usamos o segundo elemento da segunda linha como pivô (6):
1 & 2 & 3 & 2 0 & 6 & 8 & 10 0 & -20 & -20 & -8
Eliminamos o elemento abaixo do pivô na terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 + (20/6) * Linha 2
Calculando:
1 & 2 & 3 & 2 0 & 6 & 8 & 10 0 & 0 & -406 & 126
Passo 7
Simplificamos a terceira linha:
1 & 2 & 3 & 2 0 & 6 & 8 & 10 0 & 0 & -203 & 2
Agora, podemos ver que temos uma solução não trivial para o sistema, o que indica que os vetores são linearmente dependentes.