No R^3, determine se os seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes:
(4,3,-2),(2,6,7)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se os vetores (4,3,-2) e (2,6,7) em R^3 são linearmente dependentes. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre independência linear de vetores. Para resolver, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente dependentes e verificar se existe uma combinação dos vetores que resulta no vetor zero sem que todos os coeficientes sejam zero.

Passo 2

Primeiro, o que significa vetores serem linearmente dependentes? Basicamente, um conjunto de vetores é dito ser linearmente dependente se pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. No caso, com apenas dois vetores, significa que um deles é um múltiplo escalar do outro.

Passo 3

Vamos verificar se existe um número real k tal que:
(4,3,-2) = k cdot (2,6,7)
Isso significa que cada componente do primeiro vetor deve ser igual a k vezes a componente correspondente do segundo vetor. Vamos resolver para k em cada componente:
  1. Primeira componente:
    4 = 2k implies k = 42 = 2
  2. Segunda componente:
    3 = 6k implies k = 36 = 0,5
  3. Terceira componente:
    -2 = 7k implies k = -27 approx -0,2857

Passo 4

Observamos que o valor de k obtido nas três componentes não é o mesmo. Isso significa que não existe um único número real k que satisfaça todas as três equações simultaneamente. Portanto, não é possível escrever um vetor como múltiplo escalar do outro.

Passo 5

Como não encontramos um múltiplo escalar comum que relacione os dois vetores, concluímos que eles não são linearmente dependentes. Em outras palavras, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores (4,3,-2) e (2,6,7) são linearmente independentes.

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