No
, determine se os seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se os vetores
e
em
são linearmente dependentes. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre independência linear de vetores. Para resolver, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente dependentes e verificar se existe uma combinação dos vetores que resulta no vetor zero sem que todos os coeficientes sejam zero.
Passo 2
Primeiro, o que significa vetores serem linearmente dependentes? Basicamente, um conjunto de vetores é dito ser linearmente dependente se pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. No caso, com apenas dois vetores, significa que um deles é um múltiplo escalar do outro.
Passo 3
Vamos verificar se existe um número real
tal que:
Isso significa que cada componente do primeiro vetor deve ser igual a
vezes a componente correspondente do segundo vetor. Vamos resolver para
em cada componente:
-
Primeira componente:
-
Segunda componente:
-
Terceira componente:
Passo 4
Observamos que o valor de
obtido nas três componentes não é o mesmo. Isso significa que não existe um único número real
que satisfaça todas as três equações simultaneamente. Portanto, não é possível escrever um vetor como múltiplo escalar do outro.
Passo 5
Como não encontramos um múltiplo escalar comum que relacione os dois vetores, concluímos que eles não são linearmente dependentes. Em outras palavras, os vetores são linearmente independentes.
Resposta
Os vetores
e
são linearmente independentes.