Escreva os vetores posição e velocidade, em termos dos versores i e j, para qualquer instante de tempo t;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para escrevermos os vetores posição e velocidade em termos dos versores i e j para qualquer instante de tempo t. Isso está relacionado ao estudo de movimento vetorial, onde a posição e a velocidade de um objeto são representadas por vetores no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar vetores em componentes e como derivar a velocidade a partir da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o vetor posição. Em movimentos bidimensionais, a posição de um objeto em qualquer instante t pode ser representada por um vetor r(t) que tem componentes nas direções i (horizontal) e j (vertical). Matemáticamente, isso fica:
r(t) = x(t) , i + y(t) , j
Aqui, x(t) é a posição na direção i e y(t) na direção j no tempo t.

Passo 3

Agora, vamos para o vetor velocidade. A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Então, para encontrar a velocidade v(t), precisamos derivar o vetor posição r(t) em relação ao tempo t. Fazendo isso, temos:
v(t) = dr(t)dt = dx(t)dt , i + dy(t)dt , j
Aqui, dx(t)dt é a componente da velocidade na direção i e dy(t)dt na direção j.

Passo 4

Então, juntando tudo, para qualquer instante de tempo t, os vetores posição e velocidade são dados por:
r(t) = x(t) , i + y(t) , j
e
v(t) = dx(t)dt , i + dy(t)dt , j
Isso mostra claramente como as componentes das posições e velocidades estão alinhadas com os versores i e j.

Resposta

Portanto, os vetores posição e velocidade para qualquer instante de tempo t são:
r(t) = x(t) , i + y(t) , j
e
v(t) = dx(t)dt , i + dy(t)dt , j

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