Escreva os vetores v como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3 dados a seguir:
  • v=(1,-2,5) de R^3; onde v1=(1,1,1) ; v2=(1,2,3) ; v3=(2,-1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para escrever o vetor v = a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 como uma combinação linear dos vetores , e . Isso significa que queremos encontrar números , e tais que:
Para resolver isso, vamos montar um sistema de equações baseado nas componentes dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação da combinação linear para cada componente:
1 = a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 2 -2 = a cdot 1 + b cdot 2 + c cdot (-1) 5 = a cdot 1 + b cdot 3 + c cdot 1
Simplificando, temos:
a + b + 2c = 1 a + 2b - c = -2 a + 3b + c = 5

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método da substituição ou eliminação. Vamos optar pela eliminação. Primeiro, vamos subtrair a primeira equação da segunda e da terceira para eliminar (a + 2b - c) - (a + b + 2c) = -2 - 1 a + 2b - c - a - b - 2c = -3 b - 3c = -3 (Equação 4) .
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(a + 3b + c) - (a + b + 2c) = 5 - 1 a + 3b + c - a - b - 2c = 4 2b - c = 4 (Equação 5) çã
Subtraindo a primeira equação da terceira:
çã

Passo 4

Agora, temos duas equações com duas incógnitas:
b - 3c = -3 2b - c = 4
Vamos resolver a Equação 4 para b = 3c - 3 :
2(3c - 3) - c = 4 6c - 6 - c = 4 5c - 6 = 4 5c = 10 c = 2
Agora, substituímos na Equação 5:

Passo 5

Com b = 3 cdot 2 - 3 b = 6 - 3 b = 3 , podemos encontrar a + b + 2c = 1 a + 3 + 4 = 1 a + 7 = 1 a = -6 usando :
Agora, com e , vamos encontrar usando a primeira equação original:

Resposta

Portanto, os coeficientes são v = -6 cdot v1 + 3 cdot v2 + 2 cdot v3 , e . Assim, podemos escrever:

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