Escrever as 03 equações (Paramétricas e Geral) dos planos que passam pelos pontos:
& A(1,0,2), B(-1,2,-1) e C(1,1,-1) & A(0,0,0), B(1,1,5) e C(-1,1,1) & A(2,0,-1), B(-2,6,3) e C(0,3,4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever as equações paramétricas e a equação geral de três planos diferentes, cada um passando por três pontos específicos no espaço. Vamos precisar usar conceitos de vetores e geometria analítica para encontrar essas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos focar no primeiro conjunto de pontos: A(1,0,2), B(-1,2,-1) e C(1,1,-1). Para achar a equação do plano que passa por esses pontos, precisamos encontrar vetores que estão no plano e, a partir deles, determinar a equação paramétrica e geral.

Passo 3

Vamos encontrar dois vetores que estão no plano. Esses vetores podem ser obtidos subtraindo as coordenadas dos pontos:
AB = B - A = (-1-1, 2-0, -1-2) = (-2, 2, -3)
AC = C - A = (1-1, 1-0, -1-2) = (0, 1, -3)

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos os vetores n = AB times AC = i & j & k -2 & 2 & -3 0 & 1 & -3 = i(2 cdot (-3) - (-3) cdot 1) - j(-2 cdot (-3) - (-3) cdot 0) + k(-2 cdot 1 - 2 cdot 0) = ( -6 + 3 )i - (6 - 0 )j + ( -2 - 0 )k = (-3, -6, -2) e . Para isso, usamos o produto vetorial:
Podemos simplificar dividindo por -1:

Passo 5

Com o vetor normal 3(x - 1) + 6(y - 0) + 2(z - 2) = 0 e o ponto A(1,0,2), podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
3x - 3 + 6y + 2z - 4 = 0
3x + 6y + 2z - 7 = 0

Passo 6

Agora, para as equações paramétricas, usamos o ponto A e os vetores x = 1 - 2t + 0s = 1 - 2t e y = 0 + 2t + 1s = 2t + s :
z = 2 - 3t - 3s
x = 1 - 2t y = 2t + s z = 2 - 3t - 3s
Então, as equações paramétricas são:

Passo 7

Agora, vamos para o segundo conjunto de pontos: A(0,0,0), B(1,1,5) e C(-1,1,1). Repetimos o mesmo processo.
Primeiro, encontramos os vetores:
AB = B - A = (1-0, 1-0, 5-0) = (1, 1, 5)
AC = C - A = (-1-0, 1-0, 1-0) = (-1, 1, 1)

Passo 8

Calculamos o vetor normal usando o produto vetorial:
n = AB times AC = i & j & k 1 & 1 & 5 -1 & 1 & 1 = i(1 cdot 1 - 5 cdot 1) - j(1 cdot 1 - 5 cdot (-1)) + k(1 cdot 1 - 1 cdot (-1)) = (-4)i - (1 + 5)j + (1 + 1)k = (-4, -6, 2)
Simplificando:

Passo 9

Usamos o vetor normal e o ponto A(0,0,0) para a equação geral:
-4(x - 0) - 6(y - 0) + 2(z - 0) = 0
-4x - 6y + 2z = 0
Ou multiplicando por -1:
4x + 6y - 2z = 0

Passo 10

Para as equações paramétricas, usamos o ponto A e os vetores x = 0 + t(-1) + s(1) = -t + s e y = 0 + t(1) + s(1) = t + s :
z = 0 + t(5) + s(1) = 5t + s
x = -t + s y = t + s z = 5t + s
Então, as equações paramétricas são:

Passo 11

Agora, o terceiro conjunto de pontos: A(2,0,-1), B(-2,6,3) e C(0,3,4). Vamos encontrar os vetores:
AB = B - A = (-2-2, 6-0, 3-(-1)) = (-4, 6, 4)
AC = C - A = (0-2, 3-0, 4-(-1)) = (-2, 3, 5)

Passo 12

Calculamos o vetor normal:
n = AB times AC = i & j & k -4 & 6 & 4 -2 & 3 & 5 = i(6 cdot 5 - 4 cdot 3) - j(-4 cdot 5 - 4 cdot (-2)) + k(-4 cdot 3 - 6 cdot (-2)) = (30 - 12)i - (-20 + 8)j + (-12 + 12)k = (18, 12, 0)
Podemos simplificar dividindo por 6:

Passo 13

Usamos o vetor normal e o ponto A(2,0,-1) para a equação geral:
3(x - 2) + 2(y - 0) + 0(z + 1) = 0
3x - 6 + 2y = 0
3x + 2y - 6 = 0

Passo 14

Para as equações paramétricas, usamos o ponto A e os vetores x = 2 - 4t - 2s e y = 0 + 6t + 3s :
z = -1 + 4t + 5s
x = 2 - 4t - 2s y = 6t + 3s z = -1 + 4t + 5s
Então, as equações paramétricas são:

Resposta

As equações dos planos são:
Primeiro Plano:
Paramétricas: x = 1 - 2t y = 2t + s z = 2 - 3t - 3s é
Geral: 3x + 6y + 2z - 7 = 0
Segundo Plano:
Paramétricas: x = -t + s y = t + s z = 5t + s é
Geral: 4x + 6y - 2z = 0
Terceiro Plano:
Paramétricas: x = 2 - 4t - 2s y = 6t + 3s z = -1 + 4t + 5s é
Geral: 3x + 2y - 6 = 0

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