Escrever as 03 equações (Paramétricas e Geral) dos planos que passam pelos pontos:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever as equações paramétricas e a equação geral de três planos diferentes, cada um passando por três pontos específicos no espaço. Vamos precisar usar conceitos de vetores e geometria analítica para encontrar essas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos focar no primeiro conjunto de pontos: A(1,0,2), B(-1,2,-1) e C(1,1,-1). Para achar a equação do plano que passa por esses pontos, precisamos encontrar vetores que estão no plano e, a partir deles, determinar a equação paramétrica e geral.

Passo 3

Vamos encontrar dois vetores que estão no plano. Esses vetores podem ser obtidos subtraindo as coordenadas dos pontos:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos os vetores e . Para isso, usamos o produto vetorial:
Podemos simplificar dividindo por -1:

Passo 5

Com o vetor normal e o ponto A(1,0,2), podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:

Passo 6

Agora, para as equações paramétricas, usamos o ponto A e os vetores e :
Então, as equações paramétricas são:

Passo 7

Agora, vamos para o segundo conjunto de pontos: A(0,0,0), B(1,1,5) e C(-1,1,1). Repetimos o mesmo processo.
Primeiro, encontramos os vetores:

Passo 8

Calculamos o vetor normal usando o produto vetorial:
Simplificando:

Passo 9

Usamos o vetor normal e o ponto A(0,0,0) para a equação geral:
Ou multiplicando por -1:

Passo 10

Para as equações paramétricas, usamos o ponto A e os vetores e :
Então, as equações paramétricas são:

Passo 11

Agora, o terceiro conjunto de pontos: A(2,0,-1), B(-2,6,3) e C(0,3,4). Vamos encontrar os vetores:

Passo 12

Calculamos o vetor normal:
Podemos simplificar dividindo por 6:

Passo 13

Usamos o vetor normal e o ponto A(2,0,-1) para a equação geral:

Passo 14

Para as equações paramétricas, usamos o ponto A e os vetores e :
Então, as equações paramétricas são:

Resposta

As equações dos planos são:
Primeiro Plano:
é
Segundo Plano:
é
Terceiro Plano:
é

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