Escrever as 03 equações (Paramétricas e Geral) dos planos que passam pelos pontos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever as equações paramétricas e a equação geral de três planos diferentes, cada um passando por três pontos específicos no espaço. Vamos precisar usar conceitos de vetores e geometria analítica para encontrar essas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos focar no primeiro conjunto de pontos: A(1,0,2), B(-1,2,-1) e C(1,1,-1). Para achar a equação do plano que passa por esses pontos, precisamos encontrar vetores que estão no plano e, a partir deles, determinar a equação paramétrica e geral.
Passo 3
Vamos encontrar dois vetores que estão no plano. Esses vetores podem ser obtidos subtraindo as coordenadas dos pontos:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos os vetores e . Para isso, usamos o produto vetorial:
Podemos simplificar dividindo por -1:
Passo 5
Com o vetor normal 3(x - 1) + 6(y - 0) + 2(z - 2) = 0 e o ponto A(1,0,2), podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
3x - 3 + 6y + 2z - 4 = 0
3x + 6y + 2z - 7 = 0
Passo 6
Agora, para as equações paramétricas, usamos o ponto A e os vetores x = 1 - 2t + 0s = 1 - 2t e y = 0 + 2t + 1s = 2t + s :
z = 2 - 3t - 3s
x = 1 - 2t y = 2t + s z = 2 - 3t - 3s
Então, as equações paramétricas são:
Passo 7
Agora, vamos para o segundo conjunto de pontos: A(0,0,0), B(1,1,5) e C(-1,1,1). Repetimos o mesmo processo.
Primeiro, encontramos os vetores:
AB = B - A = (1-0, 1-0, 5-0) = (1, 1, 5)
AC = C - A = (-1-0, 1-0, 1-0) = (-1, 1, 1)
Passo 8
Calculamos o vetor normal usando o produto vetorial:
n = AB times AC = i & j & k 1 & 1 & 5 -1 & 1 & 1 = i(1 cdot 1 - 5 cdot 1) - j(1 cdot 1 - 5 cdot (-1)) + k(1 cdot 1 - 1 cdot (-1)) = (-4)i - (1 + 5)j + (1 + 1)k = (-4, -6, 2)
Simplificando:
Passo 9
Usamos o vetor normal e o ponto A(0,0,0) para a equação geral:
-4(x - 0) - 6(y - 0) + 2(z - 0) = 0
-4x - 6y + 2z = 0
Ou multiplicando por -1:
4x + 6y - 2z = 0
Passo 10
Para as equações paramétricas, usamos o ponto A e os vetores x = 0 + t(-1) + s(1) = -t + s e y = 0 + t(1) + s(1) = t + s :
z = 0 + t(5) + s(1) = 5t + s
x = -t + s y = t + s z = 5t + s
Então, as equações paramétricas são:
Passo 11
Agora, o terceiro conjunto de pontos: A(2,0,-1), B(-2,6,3) e C(0,3,4). Vamos encontrar os vetores: