Escrever as definições e dar um exemplo de:
  • Bola aberta;
  • Conjunto aberto;
  • ponto interior;
  • Conjunto fechado;
  • Fronteira;
  • Ponto de acumulação;
  • Conjunto conexo;
  • Curva simples.

Passo 1

Beleza, você quer que eu escreva as definições e dê exemplos de vários conceitos de topologia, como bola aberta, conjunto aberto, ponto interior, e outros. Vamos precisar entender cada um desses termos e ver exemplos práticos para cada definição.

Passo 2

Bola aberta
Definição: Uma bola aberta em um espaço métrico é o conjunto de todos os pontos que estão a uma distância menor que um raio de um ponto central .
Exemplo: No plano , a bola aberta centrada em com raio é o conjunto de todos os pontos tais que .

Passo 3

Conjunto aberto
Definição: Um conjunto é aberto se, para cada ponto nele, existe uma bola aberta totalmente contida no conjunto que está ao redor desse ponto.
Exemplo: No conjunto dos números reais , o intervalo é aberto porque, para cada número dentro desse intervalo, podemos encontrar uma pequena margem ao seu redor que ainda está dentro de .

Passo 4

Ponto interior
Definição: Um ponto é interior a um conjunto se existe uma bola aberta ao redor dele que está completamente contida no conjunto.
Exemplo: Considerando o conjunto em , o número é um ponto interior porque podemos encontrar, por exemplo, a bola aberta que está totalmente dentro de .

Passo 5

Conjunto fechado
Definição: Um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos de fronteira, ou equivalentemente, se seu complementar é um conjunto aberto.
Exemplo: No conjunto dos números reais , o intervalo é fechado porque inclui seus pontos extremos e .

Passo 6

Fronteira
Definição: A fronteira de um conjunto é o conjunto de pontos onde qualquer bola aberta ao redor deles contém pontos que estão dentro do conjunto e pontos que estão fora dele.
Exemplo: No intervalo em , a fronteira é porque em torno de e sempre há pontos que estão dentro e fora do intervalo.

Passo 7

Ponto de acumulação
Definição: Um ponto de acumulação de um conjunto é um ponto onde toda bola aberta ao seu redor contém pelo menos um ponto do conjunto diferente dele próprio.
Exemplo: No conjunto em , o ponto é um ponto de acumulação porque, independentemente de quão pequena seja a bola ao redor de , sempre haverá pontos do conjunto dentro dessa bola.

Passo 8

Conjunto conexo
Definição: Um conjunto é conexo se não pode ser dividido em dois conjuntos abertos não vazios que não se sobrepõem.
Exemplo: No espaço , o intervalo é um conjunto conexo porque não há uma maneira de dividi-lo em dois conjuntos abertos separados.

Passo 9

Curva simples
Definição: Uma curva simples é uma curva que não se intercepta, ou seja, não tem pontos repetidos.
Exemplo: Um círculo no plano é uma curva simples porque você pode percorrê-lo sem cruzar o próprio caminho.

Resposta

Acabamos de definir e exemplificar os conceitos de bola aberta, conjunto aberto, ponto interior, conjunto fechado, fronteira, ponto de acumulação, conjunto conexo e curva simples conforme solicitado.

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