Escrever as definições e dar um exemplo de:
- Bola aberta;
- Conjunto aberto;
- ponto interior;
- Conjunto fechado;
- Fronteira;
- Ponto de acumulação;
- Conjunto conexo;
- Curva simples.
Passo 1
Beleza, você quer que eu escreva as definições e dê exemplos de vários conceitos de topologia, como bola aberta, conjunto aberto, ponto interior, e outros. Vamos precisar entender cada um desses termos e ver exemplos práticos para cada definição.
Passo 2
Bola aberta
Definição: Uma bola aberta em um espaço métrico é o conjunto de todos os pontos que estão a uma distância menor que um raio
de um ponto central
.
Exemplo: No plano
, a bola aberta centrada em
com raio
é o conjunto de todos os pontos
tais que
.
Passo 3
Conjunto aberto
Definição: Um conjunto é aberto se, para cada ponto nele, existe uma bola aberta totalmente contida no conjunto que está ao redor desse ponto.
Exemplo: No conjunto dos números reais
, o intervalo
é aberto porque, para cada número dentro desse intervalo, podemos encontrar uma pequena margem ao seu redor que ainda está dentro de
.
Passo 4
Ponto interior
Definição: Um ponto é interior a um conjunto se existe uma bola aberta ao redor dele que está completamente contida no conjunto.
Exemplo: Considerando o conjunto
em
, o número
é um ponto interior porque podemos encontrar, por exemplo, a bola aberta
que está totalmente dentro de
.
Passo 5
Conjunto fechado
Definição: Um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos de fronteira, ou equivalentemente, se seu complementar é um conjunto aberto.
Exemplo: No conjunto dos números reais
, o intervalo
é fechado porque inclui seus pontos extremos
e
.
Passo 6
Fronteira
Definição: A fronteira de um conjunto é o conjunto de pontos onde qualquer bola aberta ao redor deles contém pontos que estão dentro do conjunto e pontos que estão fora dele.
Exemplo: No intervalo
em
, a fronteira é
porque em torno de
e
sempre há pontos que estão dentro e fora do intervalo.
Passo 7
Ponto de acumulação
Definição: Um ponto de acumulação de um conjunto é um ponto onde toda bola aberta ao seu redor contém pelo menos um ponto do conjunto diferente dele próprio.
Exemplo: No conjunto
em
, o ponto
é um ponto de acumulação porque, independentemente de quão pequena seja a bola ao redor de
, sempre haverá pontos do conjunto dentro dessa bola.
Passo 8
Conjunto conexo
Definição: Um conjunto é conexo se não pode ser dividido em dois conjuntos abertos não vazios que não se sobrepõem.
Exemplo: No espaço
, o intervalo
é um conjunto conexo porque não há uma maneira de dividi-lo em dois conjuntos abertos separados.
Passo 9
Curva simples
Definição: Uma curva simples é uma curva que não se intercepta, ou seja, não tem pontos repetidos.
Exemplo: Um círculo no plano
é uma curva simples porque você pode percorrê-lo sem cruzar o próprio caminho.
Resposta
Acabamos de definir e exemplificar os conceitos de bola aberta, conjunto aberto, ponto interior, conjunto fechado, fronteira, ponto de acumulação, conjunto conexo e curva simples conforme solicitado.
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, sendo
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. Para
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