Solucionar as seguintes perguntas sobre limites
b) Se f: B subset R^2 R e f(x, y)=x^2+y^2, sendo B o domínio de f. Para B=(x, y) in R^2 / 4 <= x^2+y^2 <= 6 cup(0,0), o limite lim (x, y) (0,0) f(x, y) existe? ( 0,5 pts)

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Temos a função definida no conjunto , que inclui todos os pontos em onde além do ponto . Queremos saber se o limite de quando se aproxima de existe. Vamos precisar entender o conceito de limite em funções de duas variáveis e analisar como se comporta próximo a .

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que o limite de uma função de duas variáveis, como , quando tende a um ponto , existe se os valores de se aproximarem do mesmo número independente do caminho pelo qual se aproxima de .

Passo 3

No nosso caso, queremos ver se existe. A função dada é , que é bem conhecida e continua em todo o plano .

Passo 4

Observando o domínio , vemos que todos os pontos fora do têm entre 4 e 6. Isso significa que esses pontos estão todos a uma distância de pelo menos 2 unidades da origem e no máximo aproximadamente 2,45 unidades. O único ponto que “chega” na origem é .

Passo 5

Para calcular o limite, normalmente consideraríamos diferentes caminhos que pode seguir para se aproximar de . No entanto, no conjunto , qualquer caminho que não seja constante em mantém , o que impede de realmente se aproximar da origem. Assim, a única “sequência” válida é ficar no próprio ponto .

Passo 6

Dessa forma, a única avaliação que temos é . Como não há outros pontos em que se aproximem de , o limite será simplesmente o valor da função nesse ponto.

Resposta

O limite existe e é igual a .

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