Solucionar as seguintes perguntas sobre limites
b) Se
e
, sendo
o domínio de
. Para
, o limite
existe? (
b) Se
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: Temos a função
definida no conjunto
, que inclui todos os pontos
em
onde
além do ponto
. Queremos saber se o limite de
quando
se aproxima de
existe. Vamos precisar entender o conceito de limite em funções de duas variáveis e analisar como
se comporta próximo a
.
Passo 2
Primeiro, é importante lembrar que o limite de uma função de duas variáveis, como
, quando
tende a um ponto
, existe se os valores de
se aproximarem do mesmo número independente do caminho pelo qual
se aproxima de
.
Passo 3
No nosso caso, queremos ver se
existe. A função dada é
, que é bem conhecida e continua em todo o plano
.
Passo 4
Observando o domínio
, vemos que todos os pontos fora do
têm
entre 4 e 6. Isso significa que esses pontos estão todos a uma distância de pelo menos 2 unidades da origem e no máximo aproximadamente 2,45 unidades. O único ponto que “chega” na origem é
.
Passo 5
Para calcular o limite, normalmente consideraríamos diferentes caminhos que
pode seguir para se aproximar de
. No entanto, no conjunto
, qualquer caminho que não seja constante em
mantém
, o que impede
de realmente se aproximar da origem. Assim, a única “sequência” válida é ficar no próprio ponto
.
Passo 6
Dessa forma, a única avaliação que temos é
. Como não há outros pontos em
que se aproximem de
, o limite será simplesmente o valor da função nesse ponto.
Resposta
O limite
existe e é igual a
.
Exercícios relacionados
Solucionar as seguintes perguntas sobre limites
c) Usando a definição de limite verifique o seguinte:
c) Usando a definição de limite verifique o seguinte:
Escrever as definições e dar um exemplo de:
- Bola aberta;
- Conjunto aberto;
- ponto interior;
- Conjunto fechado;
- Fronteira;
- Ponto de acumulação;
- Conjunto conexo;
- Curva simples.
Uma lagoa de 16 metros de profundida tem a forma de um paraboloide
, com
. Um objeto que está na borda da lagoa desce até o fundo, seguindo a intersecção da lagoa com o plano
.
b) Quanto é o comprimento de arco que percorreu o objeto até chegar ao fundo.(1,5 pts)
b) Quanto é o comprimento de arco que percorreu o objeto até chegar ao fundo.(1,5 pts)
Os seguintes limites existem?
b)
b)