Solucionar as seguintes perguntas sobre limites
c) Usando a definição de limite verifique o seguinte:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar, usando a definição de limite, se o limite da função quando se aproxima de é igual a 0. Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, um tema de cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos usar a definição formal de limite e algumas propriedades de funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a definição de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que:
se, para todo , existe um tal que sempre que , então .
No nosso caso, queremos mostrar que:
Então, precisamos provar que para todo , existe um tal que se , então:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão que precisamos restringir:
Agora, percebemos que | 5xyraiz3x^2 + 3y^2 | = 5|x||y|raiz3(x^2 + y^2) é igual a 5|x||y|raiz3r distância do ponto , que chamamos de , ou seja, .
Então, a expressão fica:
Passo 4
Sabemos que |x||y| <= r cdot r = r^2 e 5|x||y|raiz3r <= 5r^2raiz3r = 5rraiz3 , pois .
Portanto,
Substituindo na nossa expressão:
Passo 5
Queremos que 5de. Para isso, basta escolher um de tal que:
Então, podemos escolher:
Passo 6
Com essa escolha de | 5xyraiz3x^2 + 3y^2 | <= 5rraiz3 < epsilon , sempre que , teremos:
Isso satisfaz a definição de limite, garantindo que o limite é de fato 0.