Solucionar as seguintes perguntas sobre limites
c) Usando a definição de limite verifique o seguinte:
lim (x, y) (0,0) 5 x yraiz3 x^2+3 y^2=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar, usando a definição de limite, se o limite da função quando se aproxima de é igual a 0. Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, um tema de cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos usar a definição formal de limite e algumas propriedades de funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a definição de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que:
lim(x, y) (a, b) f(x, y) = L
se, para todo lim(x, y) (0,0) 5xyraiz3x^2 + 3y^2 = 0 , existe um | 5xyraiz3x^2 + 3y^2 - 0 | < epsilon tal que sempre que , então .
No nosso caso, queremos mostrar que:
Então, precisamos provar que para todo , existe um tal que se , então:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão que precisamos restringir:
Agora, percebemos que | 5xyraiz3x^2 + 3y^2 | = 5|x||y|raiz3(x^2 + y^2) é igual a 5|x||y|raiz3r distância do ponto , que chamamos de , ou seja, .
Então, a expressão fica:

Passo 4

Sabemos que |x||y| <= r cdot r = r^2 e 5|x||y|raiz3r <= 5r^2raiz3r = 5rraiz3 , pois .
Portanto,
Substituindo na nossa expressão:

Passo 5

Queremos que 5de. Para isso, basta escolher um de tal que:
Então, podemos escolher:

Passo 6

Com essa escolha de | 5xyraiz3x^2 + 3y^2 | <= 5rraiz3 < epsilon , sempre que , teremos:
Isso satisfaz a definição de limite, garantindo que o limite é de fato 0.

Resposta

O limite é igual a 0.

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