Solucionar as seguintes perguntas sobre limites
c) Usando a definição de limite verifique o seguinte:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar, usando a definição de limite, se o limite da função quando se aproxima de é igual a 0. Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, um tema de cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos usar a definição formal de limite e algumas propriedades de funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a definição de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que:
se, para todo , existe um tal que sempre que , então .
No nosso caso, queremos mostrar que:
Então, precisamos provar que para todo , existe um tal que se , então:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão que precisamos restringir:
Agora, percebemos que é igual a distância do ponto , que chamamos de , ou seja, .
Então, a expressão fica:

Passo 4

Sabemos que e , pois .
Portanto,
Substituindo na nossa expressão:

Passo 5

Queremos que . Para isso, basta escolher um tal que:
Então, podemos escolher:

Passo 6

Com essa escolha de , sempre que , teremos:
Isso satisfaz a definição de limite, garantindo que o limite é de fato 0.

Resposta

O limite é igual a 0.

Exercícios relacionados

Escrever as definições e dar um exemplo de:
  • Bola aberta;
  • Conjunto aberto;
  • ponto interior;
  • Conjunto fechado;
  • Fronteira;
  • Ponto de acumulação;
  • Conjunto conexo;
  • Curva simples.
Resolva as EDO
Solucionar as seguintes perguntas sobre limites
b) Se e , sendo o domínio de . Para , o limite existe? (
Uma lagoa de 16 metros de profundida tem a forma de um paraboloide , com . Um objeto que está na borda da lagoa desce até o fundo, seguindo a intersecção da lagoa com o plano .
b) Quanto é o comprimento de arco que percorreu o objeto até chegar ao fundo.(1,5 pts)