Identifique o tipo de seção cônica e encontre os principais elementos de cada uma delas (vértices, assíntotas, focos, centros). Esboce-as.
x^236-y^264=1

Passo 1

Beleza, vamos começar! A equação que temos é x^236-y^264=1. Isso é uma seção cônica, especificamente uma hipérbole. Para resolver essa parada, vamos precisar identificar os principais elementos da hipérbole como vértices, assíntotas, focos e o centro.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão da hipérbole: (x-h)^2a^2 - (y-k)^2b^2 = 1. Nesse caso, não tem nenhum (h,k), então o centro da hipérbole está na origem (0,0). Aqui, a^2 = 36 e b^2 = 64, o que significa que a = 6 e b = 8.

Passo 3

Agora, os vértices são os pontos mais próximos do centro ao longo do eixo principal. Como a hipérbole é horizontal (porque o x^2 está positivo), os vértices ficam em (h pm a, k). Então, substituindo os valores, os vértices são (0 pm 6, 0), ou seja, (6,0) e (-6,0).

Passo 4

As assíntotas são linhas que a hipérbole se aproxima mas nunca toca. A fórmula para as assíntotas de uma hipérbole horizontal é y = pm bax. Com b = 8 e a = 6, as assíntotas são y = 86x = 43x e y = -43x.

Passo 5

Os focos são pontos importantes dentro da hipérbole que ajudam a definir sua forma. A distância do centro aos focos é dada por c, onde c^2 = a^2 + b^2. Calculando, temos c^2 = 36 + 64 = 100, então c = 10. Assim, os focos estão em (0 pm 10, 0), ou seja, (10,0) e (-10,0).

Passo 6

Resumindo tudo: o centro da hipérbole está em (0,0), os vértices em (6,0) e (-6,0), os focos em (10,0) e (-10,0), e as assíntotas nas linhas y = 43x e y = -43x. Para esboçar, desenhe o centro, marque os vértices e focos, trace as assíntotas e desenhe a hipérbole se aproximando dessas linhas.

Resposta

A equação x^236-y^264=1 representa uma hipérbole com centro em (0,0), vértices em (6,0) e (-6,0), focos em (10,0) e (-10,0), e assíntotas nas retas y = 43x e y = -43x. O esboço deve incluir esses elementos, mostrando a abertura horizontal da hipérbole e as assíntotas.

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