Identifique o tipo de seção cônica e encontre os principais elementos de cada uma delas (vértices, assíntotas, focos, centros). Esboce-as.
Passo 1
Beleza, vamos começar! A equação que temos é
. Isso é uma seção cônica, especificamente uma hipérbole. Para resolver essa parada, vamos precisar identificar os principais elementos da hipérbole como vértices, assíntotas, focos e o centro.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão da hipérbole:
. Nesse caso, não tem nenhum
, então o centro da hipérbole está na origem
. Aqui,
e
, o que significa que
e
.
Passo 3
Agora, os vértices são os pontos mais próximos do centro ao longo do eixo principal. Como a hipérbole é horizontal (porque o
está positivo), os vértices ficam em
. Então, substituindo os valores, os vértices são
, ou seja,
e
.
Passo 4
As assíntotas são linhas que a hipérbole se aproxima mas nunca toca. A fórmula para as assíntotas de uma hipérbole horizontal é
. Com
e
, as assíntotas são
e
.
Passo 5
Os focos são pontos importantes dentro da hipérbole que ajudam a definir sua forma. A distância do centro aos focos é dada por
, onde
. Calculando, temos
, então
. Assim, os focos estão em
, ou seja,
e
.
Passo 6
Resumindo tudo: o centro da hipérbole está em
, os vértices em
e
, os focos em
e
, e as assíntotas nas linhas
e
. Para esboçar, desenhe o centro, marque os vértices e focos, trace as assíntotas e desenhe a hipérbole se aproximando dessas linhas.
Resposta
A equação
representa uma hipérbole com centro em
, vértices em
e
, focos em
e
, e assíntotas nas retas
e
. O esboço deve incluir esses elementos, mostrando a abertura horizontal da hipérbole e as assíntotas.