Identifique o tipo de seção cônica e encontre os principais elementos de cada uma delas (vértices, assíntotas, focos, centros). Esboce-as.

Passo 1

Beleza, vamos começar! A equação que temos é . Isso é uma seção cônica, especificamente uma hipérbole. Para resolver essa parada, vamos precisar identificar os principais elementos da hipérbole como vértices, assíntotas, focos e o centro.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão da hipérbole: . Nesse caso, não tem nenhum , então o centro da hipérbole está na origem . Aqui, e , o que significa que e .

Passo 3

Agora, os vértices são os pontos mais próximos do centro ao longo do eixo principal. Como a hipérbole é horizontal (porque o está positivo), os vértices ficam em . Então, substituindo os valores, os vértices são , ou seja, e .

Passo 4

As assíntotas são linhas que a hipérbole se aproxima mas nunca toca. A fórmula para as assíntotas de uma hipérbole horizontal é . Com e , as assíntotas são e .

Passo 5

Os focos são pontos importantes dentro da hipérbole que ajudam a definir sua forma. A distância do centro aos focos é dada por , onde . Calculando, temos , então . Assim, os focos estão em , ou seja, e .

Passo 6

Resumindo tudo: o centro da hipérbole está em , os vértices em e , os focos em e , e as assíntotas nas linhas e . Para esboçar, desenhe o centro, marque os vértices e focos, trace as assíntotas e desenhe a hipérbole se aproximando dessas linhas.

Resposta

A equação representa uma hipérbole com centro em , vértices em e , focos em e , e assíntotas nas retas e . O esboço deve incluir esses elementos, mostrando a abertura horizontal da hipérbole e as assíntotas.

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