Escrever equações reduzidas na variável de cada uma das retas que satisfazem às condições dadas:
a) passa por e é paralela à reta r: ;
b) passa pela origem e é ortogonal a cada uma das retas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente precisa escrever as equações reduzidas na variável de certas retas que atendem às condições dadas. No item a), a reta deve passar pelo ponto e ser paralela à reta definida por , e variando. Para isso, vamos usar conceitos de vetores diretores e equações paramétricas de retas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser paralelo a uma reta. Duas retas são paralelas se seus vetores diretores são iguais ou múltiplos uns dos outros. A reta tem um vetor diretor que podemos descobrir observando as variações das coordenadas. Como e são constantes, apenas varia. Então, o vetor diretor de é .
Passo 3
Agora, queremos uma reta que passa pelo ponto e tem o mesmo vetor diretor . A equação paramétrica dessa reta será:
Simplificando, temos:
Passo 4
Como o exercício pede as equações reduzidas na variável , precisamos isolar as outras variáveis em função de . Sabemos que . Substituindo:
Então, as equações reduzidas são simplesmente e , mantendo como variável livre.
Passo 5
Vamos agora para o item b). Aqui, a reta deve passar pela origem e ser ortogonal a cada uma das retas e . Para isso, precisamos encontrar uma reta cuja direção seja perpendicular às direções das retas e . Isso envolve o uso do produto vetorial para encontrar um vetor diretor que seja ortogonal aos vetores diretores de e .
Passo 6
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas e . Para a reta :
Podemos reescrever essa equação parametricamente assumindo que:
Resolvendo para , e :
Então, o vetor diretor de é .
Para a reta :
Podemos parametrizar com , então , . Assim, o vetor diretor de é .
Passo 7
Para encontrar uma reta que seja ortogonal a ambas e , buscamos o vetor diretor que seja perpendicular a e . O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular a ambos.
Calculando:
Passo 8
Agora que temos o vetor diretor da reta que passa pela origem e é ortogonal a e , podemos escrever as equações reduzidas na variável . Vamos expressar e em função de .
Sabendo que:
Podemos isolar em função de :
Substituindo:
Então, as equações reduzidas são:
Resposta
As equações reduzidas na variável da reta que passa pela origem e é ortogonal às retas e são: