Escrever equações reduzidas na variável de cada uma das retas que satisfazem às condições dadas:
a) passa por e é paralela à reta r: ;
b) passa pela origem e é ortogonal a cada uma das retas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente precisa escrever as equações reduzidas na variável de certas retas que atendem às condições dadas. No item a), a reta deve passar pelo ponto e ser paralela à reta definida por , e variando. Para isso, vamos usar conceitos de vetores diretores e equações paramétricas de retas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser paralelo a uma reta. Duas retas são paralelas se seus vetores diretores são iguais ou múltiplos uns dos outros. A reta tem um vetor diretor que podemos descobrir observando as variações das coordenadas. Como e são constantes, apenas varia. Então, o vetor diretor de é .
Passo 3
Agora, queremos uma reta que passa pelo ponto e tem o mesmo vetor diretor . A equação paramétrica dessa reta será:
Simplificando, temos:
Passo 4
Como o exercício pede as equações reduzidas na variável x = 4 , precisamos isolar as outras variáveis em função de y = -2 . Sabemos que z = z . Substituindo:
Então, as equações reduzidas são simplesmente e , mantendo como variável livre.
Passo 5
Vamos agora para o item b). Aqui, a reta deve passar pela origem e ser ortogonal a cada uma das retas e . Para isso, precisamos encontrar uma reta cuja direção seja perpendicular às direções das retas e . Isso envolve o uso do produto vetorial para encontrar um vetor diretor que seja ortogonal aos vetores diretores de e .
Passo 6
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas r: 2x - 13 = y + 2-2 = 2z - 2 e 2x - 13 = t, y + 2-2 = t, 2z - 2 = t . Para a reta x = 3t + 12, y = -2t - 2, z = t + 22 :
s: x = -y = -z
Podemos reescrever essa equação parametricamente assumindo que:
Resolvendo para , e :
Então, o vetor diretor de é .
Para a reta :
Podemos parametrizar com , então , . Assim, o vetor diretor de é .
Passo 7
Para encontrar uma reta que seja ortogonal a ambas d = dr times ds = i & j & k 32 & -2 & 12 1 & -1 & -1 e = i ( (-2)(-1) - 12(-1) ) - j ( 32(-1) - 12(1) ) + k ( 32(-1) - (-2)(1) ) , buscamos o vetor diretor = i ( 2 + 12 ) - j ( -32 - 12 ) + k ( -32 + 2 ) que seja perpendicular a = i ( 52 ) - j ( -2 ) + k ( 12 ) e = ( 52, 2, 12 ) . O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular a ambos.
Calculando:
Passo 8
Agora que temos o vetor diretor x = 52 t, y = 2 t, z = 12 t da reta que passa pela origem e é ortogonal a t = 2z e x = 52 cdot 2z = 5z , podemos escrever as equações reduzidas na variável y = 2 cdot 2z = 4z . Vamos expressar x = 5z e y = 4z em função de .
Sabendo que:
Podemos isolar em função de :
Substituindo:
Então, as equações reduzidas são:
Resposta
As equações reduzidas na variável x = 5z y = 4z z é variável da reta que passa pela origem e é ortogonal às retas e são: