Para quais das seguintes definiçōes pode-se afirmar que E é um espaço vetorial? Justifique sua resposta. u+v=(y1+y2, x1+x2) e alpha u=(alpha y1, alpha x1+x1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir se, com as definições dadas de adição e multiplicação por escalar, o conjunto é um espaço vetorial. A gente vai precisar entender os conceitos de espaço vetorial e verificar se as operações que nos foram dadas cumprem todas as regras que definem esse tipo de espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde podemos fazer duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar. Para que seja um espaço vetorial, essas operações precisam seguir certas propriedades, como comutatividade, associatividade, existência de um vetor zero, entre outras.

Passo 3

Vamos analisar a definição da adição que foi dada:
u + v = (y1 + y2, x1 + x2)
Aqui, parece que estamos trocando as posições dos componentes normais dos vetores. Normalmente, um vetor seria e seria . Porém, aqui a soma está sendo feita trocando e . Isso já pode causar problemas na hora de verificar as propriedades de um espaço vetorial.

Passo 4

Agora, vamos olhar para a multiplicação por escalar:
alpha u = (alpha y1, alpha x1 + x1)
Essa definição também está estranha porque, no segundo componente, além de multiplicar por , ele ainda soma . Isso não é uma operação linear típica e pode violar as propriedades necessárias para um espaço vetorial.

Passo 5

Vamos verificar algumas propriedades essenciais:
  1. Comutatividade da adição:
    u + v = v + u
    Com a definição dada, isso ainda funciona porque u + (0, 0) = (y1 + 0, x1 + 0) = (y1, x1) = u e .
  2. Existência do vetor zero:
    O vetor zero seria , porque:
    Isso também parece funcionar.
No entanto, a multiplicação por escalar já apresenta um problema sério.

Passo 6

Verifiquemos a compatibilidade da multiplicação por escalar com a distribuição:
alpha (u + v) = alpha u + alpha v
Vamos calcular cada lado.
Lado esquerdo:
alpha (u + v) = alpha (y1 + y2, x1 + x2) = (alpha (y1 + y2), alpha (x1 + x2) + (x1 + x2))
Lado direito:
alpha u + alpha v = (alpha y1, alpha x1 + x1) + (alpha y2, alpha x2 + x2) = (alpha y1 + alpha y2, (alpha x1 + x1) + (alpha x2 + x2))
Comparando, vemos que:
alpha (x1 + x2) + (x1 + x2) neq (alpha x1 + x1) + (alpha x2 + x2)
O que mostra que essa propriedade não é satisfeita.

Passo 7

Como a multiplicação por escalar não está funcionando corretamente, isso já é suficiente para concluir que n��o é um espaço vetorial com as definições dadas.

Resposta

O conjunto não é um espaço vetorial com as definições de adição e multiplicação por escalar fornecidas, já que a multiplicação por escalar não satisfaz as propriedades necessárias de um espaço vetorial.

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