Para quais das seguintes definiçōes pode-se afirmar que
é um espaço vetorial? Justifique sua resposta.
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir se, com as definições dadas de adição e multiplicação por escalar, o conjunto
é um espaço vetorial. A gente vai precisar entender os conceitos de espaço vetorial e verificar se as operações que nos foram dadas cumprem todas as regras que definem esse tipo de espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde podemos fazer duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar. Para que
seja um espaço vetorial, essas operações precisam seguir certas propriedades, como comutatividade, associatividade, existência de um vetor zero, entre outras.
Passo 3
Vamos analisar a definição da adição que foi dada:
Aqui, parece que estamos trocando as posições dos componentes normais dos vetores. Normalmente, um vetor
seria
e
seria
. Porém, aqui a soma está sendo feita trocando
e
. Isso já pode causar problemas na hora de verificar as propriedades de um espaço vetorial.
Passo 4
Agora, vamos olhar para a multiplicação por escalar:
Essa definição também está estranha porque, no segundo componente, além de multiplicar
por
, ele ainda soma
. Isso não é uma operação linear típica e pode violar as propriedades necessárias para um espaço vetorial.
Passo 5
Vamos verificar algumas propriedades essenciais:
-
Comutatividade da adição:Com a definição dada, isso ainda funciona porque
e . -
Existência do vetor zero:
O vetor zero seria, porque: Isso também parece funcionar.
No entanto, a multiplicação por escalar já apresenta um problema sério.
Passo 6
Verifiquemos a compatibilidade da multiplicação por escalar com a distribuição:
Vamos calcular cada lado.
Lado esquerdo:
Lado direito:
Comparando, vemos que:
O que mostra que essa propriedade não é satisfeita.
Passo 7
Como a multiplicação por escalar não está funcionando corretamente, isso já é suficiente para concluir que
n��o é um espaço vetorial com as definições dadas.
Resposta
O conjunto
não é um espaço vetorial com as definições de adição e multiplicação por escalar fornecidas, já que a multiplicação por escalar não satisfaz as propriedades necessárias de um espaço vetorial.