Para quais das seguintes definiçōes pode-se afirmar que
é um espaço vetorial? Justifique sua resposta.
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar para quais das definições dadas o conjunto
é um espaço vetorial. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com espaços vetoriais. Para resolver isso, precisamos checar se as operações de adição de vetores (
) e multiplicação por escalar (
) satisfazem todos os axiomas que definem um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde podemos somar dois vetores e multiplicar um vetor por um escalar, e essas operações devem seguir certas regras chamadas axiomas. Alguns desses axiomas são:
- Comutatividade da adição:
- Associatividade da adição:
- Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero
tal que - Elemento inverso da adição: Para todo vetor
, existe tal que - Associatividade da multiplicação por escalar:
- Distributividade da multiplicação por escalar sobre a adição de vetores:
- Distributividade da multiplicação por escalar sobre a adição de escalares:
- Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Passo 3
Agora, vamos analisar as definições fornecidas:
- Adição de vetores:
- Multiplicação por escalar:
Parece que há algo faltando na definição da adição. Normalmente, a adição de dois vetores
e
seria
. Mas na definição dada, a soma resulta apenas em
, o que sugere que a soma não está dependendo do vetor
, o que já é um sinal de que algo está errado.
Passo 4
Vamos verificar se as operações dadas satisfazem os axiomas de um espaço vetorial:
- Comutatividade: Se
e , a soma não é igual a a menos que e , o que não é geral. - Elemento neutro: Não existe um vetor
que satisfa��a com a definição dada, já que independentemente de . - Associatividade: Não podemos garantir que
, pois as operações não estão bem definidas. - Outros axiomas: Já que os primeiros não são satisfeitos, os demais também não serão.
Resposta
Não, com as definições dadas,
não é um espaço vetorial, pois as operações de adição e multiplicação por escalar não satisfazem os axiomas necessários para um espaço vetorial.
Exercícios relacionados
Em vez de usar as definiçöes usuais de soma e multiplicação por escalar em
, defina essas duas operações, como mostrado abaixo.
(a)
(a)
(b)
©
(d)
Com cada uma dessas novas definições,
é um espaço vetorial? Justifique suas respostas.
Para quais das seguintes definiçōes pode-se afirmar que
é um espaço vetorial? Justifique sua resposta.
e
Escrever equações reduzidas na variável
de cada uma das retas que satisfazem às condições dadas:
a) passa por e é paralela à reta r:
;
b) passa pela origem e é ortogonal a cada uma das retas
a) passa por
b) passa pela origem e é ortogonal a cada uma das retas
Para quais das seguintes definiçōes pode-se afirmar que
é um espaço vetorial? Justifique sua resposta.
e