Para quais das seguintes definiçōes pode-se afirmar que é um espaço vetorial? Justifique sua resposta. e

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar para quais das definições dadas o conjunto é um espaço vetorial. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com espaços vetoriais. Para resolver isso, precisamos checar se as operações de adição de vetores ( ) e multiplicação por escalar ( ) satisfazem todos os axiomas que definem um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde podemos somar dois vetores e multiplicar um vetor por um escalar, e essas operações devem seguir certas regras chamadas axiomas. Alguns desses axiomas são:
  1. Comutatividade da adição:
  2. Associatividade da adição:
  3. Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero tal que
  4. Elemento inverso da adição: Para todo vetor , existe tal que
  5. Associatividade da multiplicação por escalar:
  6. Distributividade da multiplicação por escalar sobre a adição de vetores:
  7. Distributividade da multiplicação por escalar sobre a adição de escalares:
  8. Elemento neutro da multiplicação por escalar:

Passo 3

Agora, vamos analisar as definições fornecidas:
  • Adição de vetores:
  • Multiplicação por escalar:
Parece que há algo faltando na definição da adição. Normalmente, a adição de dois vetores e seria . Mas na definição dada, a soma resulta apenas em , o que sugere que a soma não está dependendo do vetor , o que já é um sinal de que algo está errado.

Passo 4

Vamos verificar se as operações dadas satisfazem os axiomas de um espaço vetorial:
  1. Comutatividade: Se e , a soma não é igual a a menos que e , o que não é geral.
  2. Elemento neutro: Não existe um vetor que satisfa��a com a definição dada, já que independentemente de .
  3. Associatividade: Não podemos garantir que , pois as operações não estão bem definidas.
  4. Outros axiomas: Já que os primeiros não são satisfeitos, os demais também não serão.

Resposta

Não, com as definições dadas, não é um espaço vetorial, pois as operações de adição e multiplicação por escalar não satisfazem os axiomas necessários para um espaço vetorial.

Exercícios relacionados

Em vez de usar as definiçöes usuais de soma e multiplicação por escalar em , defina essas duas operações, como mostrado abaixo.
(a)
(b)
©
(d)
Com cada uma dessas novas definições, é um espaço vetorial? Justifique suas respostas.
Para quais das seguintes definiçōes pode-se afirmar que é um espaço vetorial? Justifique sua resposta. e
Escrever equações reduzidas na variável de cada uma das retas que satisfazem às condições dadas:
a) passa por e é paralela à reta r: ;
b) passa pela origem e é ortogonal a cada uma das retas
Para quais das seguintes definiçōes pode-se afirmar que é um espaço vetorial? Justifique sua resposta. e