Escrever a função comprimento de arco de:
f) hipociclóide
,
f) hipociclóide
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para escrever a função comprimento de arco da hipociclóide dada por no intervalo
. Aqui, a matéria envolvida é o cálculo de comprimento de arco para curvas paramétricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para funções vetoriais e integrar a velocidade da curva no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de arco
de uma curva paramétrica
. A fórmula é:
Isso quer dizer que precisamos calcular as derivadas de
e
, elevar cada uma ao quadrado, somar, tirar a raiz quadrada e integrar tudo isso no intervalo dado.
Passo 3
Vamos encontrar as derivadas de
e
:
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar funções elevadas a uma potência.
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Fatorando de dentro da raiz:
Sabemos que , então:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral:
Podemos usar uma substituição simples, seja , então
:
Resposta
A função comprimento de arco da hipociclóide é dado por: