Escrever a função comprimento de arco de:
f) hipociclóide r(t) = (a cos^3(t), a sen^3(t)),
t in [0, pi/2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para escrever a função comprimento de arco da hipociclóide dada por no intervalo . Aqui, a matéria envolvida é o cálculo de comprimento de arco para curvas paramétricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para funções vetoriais e integrar a velocidade da curva no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de arco de uma curva paramétrica . A fórmula é:
Isso quer dizer que precisamos calcular as derivadas de e , elevar cada uma ao quadrado, somar, tirar a raiz quadrada e integrar tudo isso no intervalo dado.

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas de e :
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar funções elevadas a uma potência.

Passo 4

Agora, vamos substituir e na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 5

Fatorando de dentro da raiz:
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral:
Podemos usar uma substituição simples, seja , então :

Resposta

A função comprimento de arco da hipociclóide é dado por:

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