Use os métodos da bisseção, da falsa posição, de Newton-Raphson e da secante para encontrar as raízes das seguintes equações: e^x + 2^(-x) + 2 cos(x) - 6 = 0, para 1 <= x <= 2

Passo 1

Então, galera! Vamos resolver um exercício de encontrar as raízes da equação no intervalo entre 1 e 2 usando quatro métodos diferentes: Bisseção, Falsa Posição, Newton-Raphson e Secante. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre cada método e aplicar passo a passo para encontrar a solução.

Passo 2

Método da Bisseção:
Esse método é bem intuitivo. A ideia é dividir o intervalo em duas partes e verificar em qual das partes a raiz está, repetindo esse processo até encontrar uma aproximação da raiz.
  1. Verificar os sinais nos extremos do intervalo:
    • Em :
    • Em :
    • Como é negativo e é positivo, sabemos que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.
  2. Aplicar a fórmula da bisseção:
    • Calcular :
    • Como é negativo, a raiz está no intervalo [1.5, 2].
  3. Repetir o processo até a precisão desejada.

Passo 3

Método da Falsa Posição:
Similar ao método da bisseção, mas em vez de simplesmente pegar o ponto médio, usamos uma linha reta entre os pontos e para estimar a raiz.
  1. Usar os mesmos pontos iniciais: , .
  2. Calcular a próxima aproximação usando:
    • Substituindo:
    • Calcular e verificar o sinal para decidir o próximo intervalo.
  3. Repetir até atingir a precisão desejada.

Passo 4

Método de Newton-Raphson:
Esse método utiliza a derivada da função para encontrar a raiz de forma mais rápida.
  1. Calcular a derivada de :
  2. Escolher um ponto inicial no intervalo, por exemplo, .
  3. Aplicar a fórmula de Newton-Raphson:
    • Calcular usando :
    • Repetir até a aproximação ser suficiente.

Passo 5

Método da Secante:
Esse método é parecido com o de Newton-Raphson, mas não requer a derivada da função. Usa duas aproximações anteriores para estimar a próxima.
  1. Escolher dois pontos iniciais, por exemplo, e .
  2. Aplicar a fórmula da secante:
    • Calcular usando e :
    • Repetir o processo usando os últimos dois pontos para melhorar a aproximação.

Resposta

Após aplicar os métodos da Bisseção, Falsa Posição, Newton-Raphson e Secante, a raiz aproximada da equação no intervalo é aproximadamente .

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