Use os métodos da bisseção, da falsa posição, de Newton-Raphson e da secante para encontrar as raízes das seguintes equações:
, para
Passo 1
Então, galera! Vamos resolver um exercício de encontrar as raízes da equação
no intervalo entre 1 e 2 usando quatro métodos diferentes: Bisseção, Falsa Posição, Newton-Raphson e Secante. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre cada método e aplicar passo a passo para encontrar a solução.
Passo 2
Método da Bisseção:
Esse método é bem intuitivo. A ideia é dividir o intervalo em duas partes e verificar em qual das partes a raiz está, repetindo esse processo até encontrar uma aproximação da raiz.
-
Verificar os sinais nos extremos do intervalo:
- Em
: - Em
: - Como
é negativo e é positivo, sabemos que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.
- Em
-
Aplicar a fórmula da bisseção:
- Calcular
: - Como
é negativo, a raiz está no intervalo [1.5, 2].
- Calcular
-
Repetir o processo até a precisão desejada.
Passo 3
Método da Falsa Posição:
Similar ao método da bisseção, mas em vez de simplesmente pegar o ponto médio, usamos uma linha reta entre os pontos
e
para estimar a raiz.
-
Usar os mesmos pontos iniciais:
, . -
Calcular a próxima aproximação
usando: - Substituindo:
- Calcular
e verificar o sinal para decidir o próximo intervalo.
- Substituindo:
-
Repetir até atingir a precisão desejada.
Passo 4
Método de Newton-Raphson:
Esse método utiliza a derivada da função para encontrar a raiz de forma mais rápida.
-
Calcular a derivada de
: -
Escolher um ponto inicial
no intervalo, por exemplo, . -
Aplicar a fórmula de Newton-Raphson:
- Calcular
usando : - Repetir até a aproximação ser suficiente.
- Calcular
Passo 5
Método da Secante:
Esse método é parecido com o de Newton-Raphson, mas não requer a derivada da função. Usa duas aproximações anteriores para estimar a próxima.
-
Escolher dois pontos iniciais, por exemplo,
e . -
Aplicar a fórmula da secante:
- Calcular
usando e : - Repetir o processo usando os últimos dois pontos para melhorar a aproximação.
- Calcular
Resposta
Após aplicar os métodos da Bisseção, Falsa Posição, Newton-Raphson e Secante, a raiz aproximada da equação
no intervalo
é aproximadamente
.