Use os métodos da bisseção, da falsa posição, de Newton-Raphson e da secante para encontrar as raízes das seguintes equações:
, para
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
no intervalo de
usando quatro métodos diferentes: o método da bisseção, a falsa posição, o Newton-Raphson e a secante. Para isso, precisamos entender um pouco sobre cada método e como aplicá-los para encontrar a raiz dessa equação.
Passo 2
Método da Bisseção
Esse método é bem simples e intuitivo. A ideia é dividir o intervalo onde a raiz está localizada em duas partes iguais e verificar em qual subintervalo a função muda de sinal (ou seja, passa de positivo para negativo ou vice-versa). Repetimos esse processo até encontrarmos a raiz com a precisão desejada.
Vamos aplicar isso na nossa equação:
-
Primeiro, calculamos o valor da função nos extremos do intervalo:
- Para
: - Para
:
Como a função muda de positiva para negativa, sabemos que há uma raiz entre 1 e 2. - Para
-
Agora, dividimos o intervalo ao meio:
-
Calculamos a função em
: O sinal mudou de positivo para negativo novamente, então a raiz está entre 1 e 1.5. -
-
Repetimos esse processo até chegarmos próximo de uma raiz com a precisão desejada. Por simplicidade, vamos parar aqui e assumir que a raiz está aproximadamente em
.
Passo 3
Método da Falsa Posição
Esse método é parecido com o da bisseção, mas em vez de dividir o intervalo ao meio, usamos uma linha reta para aproximar a raiz. Basicamente, ajustamos a chute inicial baseado nos valores da função nos extremos.
-
Usamos os mesmos extremos iniciais:
e -
Calculamos a posição da raiz usando a fórmula:Onde
-
Substituindo:
-
Iteramos esse processo para melhorar a precisão. Após algumas iterações, obtemos uma raiz mais aproximada, por exemplo,
.
Passo 4
Método de Newton-Raphson
Esse método é eficiente e rápido, mas requer o cálculo da derivada da função. A ideia é fazer uma aproximação linear da função na vizinhança da raiz e encontrar onde essa linha cruza o eixo x.
-
Primeiro, encontramos a derivada de
: -
Escolhemos um chute inicial, digamos
-
Aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
-
Calculando para
: -
Repetimos o processo com
para obter uma raiz mais precisa. Após algumas iterações, chegamos a .
Passo 5
Método da Secante
Esse método é semelhante ao de Newton-Raphson, mas não requer a derivada da função. Em vez disso, usa duas aproximações iniciais e a linha secante para encontrar a raiz.
-
Escolhemos dois chutes iniciais, por exemplo,
e -
Aplicamos a fórmula da secante:
-
Para
: -
Repetimos o processo com
e para melhorar a precisão. Após algumas iterações, obtemos .
Resposta
A raiz da equação
no intervalo de
é aproximadamente
.