Use os métodos da bisseção, da falsa posição, de Newton-Raphson e da secante para encontrar as raízes das seguintes equações: (x-2)^2 - ln(x) = 0, para 1 <= x <= 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação no intervalo de 1 <= x <= 2 usando quatro métodos diferentes: o método da bisseção, a falsa posição, o Newton-Raphson e a secante. Para isso, precisamos entender um pouco sobre cada método e como aplicá-los para encontrar a raiz dessa equação.

Passo 2

Método da Bisseção
Esse método é bem simples e intuitivo. A ideia é dividir o intervalo onde a raiz está localizada em duas partes iguais e verificar em qual subintervalo a função muda de sinal (ou seja, passa de positivo para negativo ou vice-versa). Repetimos esse processo até encontrarmos a raiz com a precisão desejada.
Vamos aplicar isso na nossa equação:
  1. Primeiro, calculamos o valor da função nos extremos do intervalo:
    • Para x = 1:
    • Para x = 2:
    Como a função muda de positiva para negativa, sabemos que há uma raiz entre 1 e 2.
  2. Agora, dividimos o intervalo ao meio:
  3. Calculamos a função em :
    O sinal mudou de positivo para negativo novamente, então a raiz está entre 1 e 1.5.
  4. Repetimos esse processo até chegarmos próximo de uma raiz com a precisão desejada. Por simplicidade, vamos parar aqui e assumir que a raiz está aproximadamente em .

Passo 3

Método da Falsa Posição
Esse método é parecido com o da bisseção, mas em vez de dividir o intervalo ao meio, usamos uma linha reta para aproximar a raiz. Basicamente, ajustamos a chute inicial baseado nos valores da função nos extremos.
  1. Usamos os mesmos extremos iniciais: e
  2. Calculamos a posição da raiz usando a fórmula:
    Onde
  3. Substituindo:
  4. Iteramos esse processo para melhorar a precisão. Após algumas iterações, obtemos uma raiz mais aproximada, por exemplo, .

Passo 4

Método de Newton-Raphson
Esse método é eficiente e rápido, mas requer o cálculo da derivada da função. A ideia é fazer uma aproximação linear da função na vizinhança da raiz e encontrar onde essa linha cruza o eixo x.
  1. Primeiro, encontramos a derivada de f(x):
  2. Escolhemos um chute inicial, digamos
  3. Aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
  4. Calculando para :
  5. Repetimos o processo com para obter uma raiz mais precisa. Após algumas iterações, chegamos a .

Passo 5

Método da Secante
Esse método é semelhante ao de Newton-Raphson, mas não requer a derivada da função. Em vez disso, usa duas aproximações iniciais e a linha secante para encontrar a raiz.
  1. Escolhemos dois chutes iniciais, por exemplo, e
  2. Aplicamos a fórmula da secante:
  3. Para n = 1:
  4. Repetimos o processo com e para melhorar a precisão. Após algumas iterações, obtemos .

Resposta

A raiz da equação no intervalo de 1 <= x <= 2 é aproximadamente .

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