Escrever a função comprimento de arco de:
e) r(t) = (cos(2t), sen(2t)), t in [0, pi]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o comprimento de arco da função vetorial no intervalo . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de comprimentos de arco, e para isso precisamos usar o conceito de derivadas e integrais para calcular a distância percorrida pela curva nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de vec(r)(t) em relação a t. A derivada de uma função vetorial nos dá a velocidade com que a curva está se movendo em cada ponto.
A derivada de vec(r)(t) é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a norma (ou módulo) dessa derivada, que representa a velocidade escalar da curva. A norma de um vetor (a, b) é dada por .
Então, a norma de é:
Sabemos que , então:

Passo 4

Com a norma da derivada em mãos, podemos calcular o comprimento do arco integrando essa norma no intervalo dado. A fórmula para o comprimento do arco é:
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:

Resposta

O comprimento de arco da função no intervalo é unidades.

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