Escrever a função comprimento de arco de:
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o comprimento de arco da função vetorial no intervalo
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de comprimentos de arco, e para isso precisamos usar o conceito de derivadas e integrais para calcular a distância percorrida pela curva nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
. A derivada de uma função vetorial nos dá a velocidade com que a curva está se movendo em cada ponto.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a norma (ou módulo) dessa derivada, que representa a velocidade escalar da curva. A norma de um vetor
é dada por
.
Então, a norma de
é:
Sabemos que , então:
Passo 4
Com a norma da derivada em mãos, podemos calcular o comprimento do arco integrando essa norma no intervalo dado. A fórmula para o comprimento do arco é:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
Resposta
O comprimento de arco da função no intervalo
é
unidades.
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(e)
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(b) , onde
é o sólido limitado pelas superfícies
.
7. Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente.
(b)
Seja
, encontre:
©
©
seja
.
(b) Determine o domínio de ;
(b) Determine o domínio de