(2,0 ponto) - Um item da 7
7. Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente.
(e) , onde
Passo 1
Vamos resolver a integral tripla , onde é a região em definida por . Esse problema envolve cálculo de integrais triplas e faremos uma mudança de coordenadas para simplificar a resolução.
Passo 2
Primeiramente, observamos que a região é uma esfera de raio 1 centrada na origem. Quando trabalhamos com regiões esféricas, é conveniente usar coordenadas esféricas para simplificar os cálculos.
Passo 3
Nas coordenadas esféricas, as coordenadas cartesianas são expressas em termos de , onde:
é a distância do ponto à origem,
é o ângulo no plano (azimute),
é o ângulo com o eixo (polar).
A transformação é dada por:
Passo 4
O diferencial de volume em coordenadas esféricas é dado por:
dV = r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta
Portanto, nossa integral tripla se transforma em:
integral triplaW e^(r^2)^3/2 cdot r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta
Simplificando o expoente:
raiz(r^2)^3 = r^3
Então, a integral fica:
integral triplaW e^r^3 cdot r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta
Passo 5
Agora, vamos separar a integral em partes que dependem apenas de uma variável: