(2,0 ponto) - Um item da 7
7. Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente.
(e) integral triplaW e^raiz(x^2+y^2+z^2)^3 d x d y d z, onde W=(x, y, z) in R^3 mid x^2+y^2+z^2 <= 1

Passo 1

Vamos resolver a integral tripla integral triplaW e^raiz(x^2+y^2+z^2)^3 , dx , dy , dz, onde W é a região em R^3 definida por x^2+y^2+z^2 <= 1. Esse problema envolve cálculo de integrais triplas e faremos uma mudança de coordenadas para simplificar a resolução.

Passo 2

Primeiramente, observamos que a região W é uma esfera de raio 1 centrada na origem. Quando trabalhamos com regiões esféricas, é conveniente usar coordenadas esféricas para simplificar os cálculos.

Passo 3

Nas coordenadas esféricas, as coordenadas cartesianas (x, y, z) são expressas em termos de (r, theta, phi), onde:
  • r é a distância do ponto à origem,
  • theta é o ângulo no plano xy (azimute),
  • phi é o ângulo com o eixo z (polar).
A transformação é dada por:
x = r sinphi costheta y = r sinphi sintheta z = r cosphi

Passo 4

O diferencial de volume em coordenadas esféricas é dado por:
dV = r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta
Portanto, nossa integral tripla se transforma em:
integral triplaW e^(r^2)^3/2 cdot r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta
Simplificando o expoente:
raiz(r^2)^3 = r^3
Então, a integral fica:
integral triplaW e^r^3 cdot r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta

Passo 5

Agora, vamos separar a integral em partes que dependem apenas de uma variável:
integral0^2pi dtheta cdot integral0^pi sinphi , dphi cdot integral0^1 e^r^3 r^2 , dr
Calculando cada integral separadamente:
  1. Integral em theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi
  1. Integral em phi:
integral0^pi sinphi , dphi = 2
  1. Integral em r:
integral0^1 e^r^3 r^2 , dr

Passo 6

Para resolver a integral em r, fazemos a substituição u = r^3, então du = 3r^2 , dr, ou seja, r^2 , dr = du3. Mudando os limites de integração:
  • Quando r = 0, u = 0.
  • Quando r = 1, u = 1.
A integral se torna:
13 integral0^1 e^u , du = 13 ( e^1 - e^0 ) = e - 13

Passo 7

Agora, multiplicamos os resultados das integrais separadas:
2pi cdot 2 cdot e - 13 = 4pi (e - 1)3

Resposta

A integral tripla vale dfrac43 pi (e - 1).

Exercícios relacionados

(2,0 ponto) - Um item da 7
7. Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente.
(b) integral triplaW 1z^2 d x d y d z, onde W é o sólido limitado pelas superfícies z=raizx^2+y^2, z=raiz1-x^2-y^2 e z=raiz4-x^2-y^2.
Resolver os problemas de valor inicial. 3 x^2 y^4 dx + 4 x^3 y^3 dy = 0, y(1) = 2
Escrever a função comprimento de arco de:
e) r(t) = (cos(2t), sen(2t)), t in [0, pi]
Seja G(x, y) = x sen(y) cos(z), encontre:
© G(t, t, t)