Escrever a função comprimento de arco de:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função do comprimento de arco para a curva dada pela função vetorial . Isso faz parte do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente sobre como calcular o comprimento de uma curva usando derivadas e integrais. Vamos precisar calcular a derivada de , encontrar a magnitude dessa derivada e depois integrar isso para achar o comprimento do arco.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial . Lembre-se que derivar uma função vetorial significa derivar cada uma das suas componentes separadamente em relação a .
Derivando cada componente:

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude da derivada . A magnitude (ou norma) de um vetor é dada por:
Aplicando isso à nossa derivada:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 5

Agora que temos , podemos encontrar o comprimento do arco integrando essa magnitude em relação a . A fórmula para o comprimento do arco é:
Assumindo que começamos a medir o comprimento do arco a partir de :

Passo 6

Vamos resolver a integral:

Resposta

A função do comprimento de arco é .

Exercícios relacionados

Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:
Use integração por partes para resolver as integrais
Dê um exemplo de uma função que seja bijetora e descontínua em todos os pontos de .
Seja uma função contínua com a seguinte propriedade:
Mostre que existe tal que , para todo .