Escrever a função comprimento de arco de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função do comprimento de arco para a curva dada pela função vetorial . Isso faz parte do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente sobre como calcular o comprimento de uma curva usando derivadas e integrais. Vamos precisar calcular a derivada de
, encontrar a magnitude dessa derivada e depois integrar isso para achar o comprimento do arco.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial
. Lembre-se que derivar uma função vetorial significa derivar cada uma das suas componentes separadamente em relação a
.
Derivando cada componente:
Passo 3
Agora, vamos calcular a magnitude da derivada
. A magnitude (ou norma) de um vetor
é dada por:
Aplicando isso à nossa derivada:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Sabemos que , então:
Portanto:
Passo 5
Agora que temos
, podemos encontrar o comprimento do arco
integrando essa magnitude em relação a
. A fórmula para o comprimento do arco é:
Assumindo que começamos a medir o comprimento do arco a partir de
:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Resposta
A função do comprimento de arco é
.
Exercícios relacionados
Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:
Use integração por partes para resolver as integrais
Dê um exemplo de uma função
que seja bijetora e descontínua em todos os pontos de
.
Seja
uma função contínua com a seguinte propriedade:
Mostre que existe
tal que
, para todo
.