Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente precisa reparametrizar a curva dada pelo vetor
pelo comprimento de arco. Isso significa que, em vez de usar o parâmetro
, vamos usar o comprimento de arco
para descrever a posição ao longo da curva. Para fazer isso, vamos precisar entender como calcular o comprimento de arco e como relacionar isso com a parametrização original.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o comprimento de arco
desde um ponto inicial até um ponto qualquer na curva é dado pela integral da velocidade
em relação a
:
Aqui,
é a derivada da curva em relação a
, que nos dá a velocidade da curva.
Passo 3
Vamos calcular a derivada da curva original:
Agora, vamos calcular a norma dessa derivada, que representa a magnitude da velocidade:
Passo 4
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então:
Isso significa que a velocidade da curva é constante e igual a
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o comprimento de arco
:
Aqui, escolhemos
para simplificar.
Passo 6
Para reparametrizar a curva pelo comprimento de arco, precisamos expressar
em função de
:
Agora, substituímos
na parametrização original
por
:
Passo 7
Simplificando as expressões:
Isso nos dá a reparametrização da curva pelo comprimento de arco.
Resposta
A curva reparametrizada pelo comprimento de arco
é
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Dê um exemplo de uma função
que seja bijetora e descontínua em todos os pontos de
.