Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente precisa reparametrizar a curva dada pelo vetor
pelo comprimento de arco. Isso significa que, em vez de usar o parâmetro , vamos usar o comprimento de arco para descrever a posição ao longo da curva. Para fazer isso, vamos precisar entender como calcular o comprimento de arco e como relacionar isso com a parametrização original.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o comprimento de arco desde um ponto inicial até um ponto qualquer na curva é dado pela integral da velocidade em relação a :
Aqui, é a derivada da curva em relação a , que nos dá a velocidade da curva.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da curva original:
Agora, vamos calcular a norma dessa derivada, que representa a magnitude da velocidade:

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então:
Isso significa que a velocidade da curva é constante e igual a .

Passo 5

Agora, vamos calcular o comprimento de arco :
Aqui, escolhemos para simplificar.

Passo 6

Para reparametrizar a curva pelo comprimento de arco, precisamos expressar em função de :
Agora, substituímos na parametrização original por :

Passo 7

Simplificando as expressões:
Isso nos dá a reparametrização da curva pelo comprimento de arco.

Resposta

A curva reparametrizada pelo comprimento de arco é

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