Use integração por partes para resolver as integrais
integral arcsin x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método de integração por partes. Esse método é uma técnica de cálculo que ajuda a integrar produtos de funções. Para isso, precisamos identificar duas partes na nossa integral que vamos chamar de e .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o que será e o que será . Uma boa regra é escolher como a função que fica mais simples quando derivada. Aqui, vamos deixar e .

Passo 3

Agora, precisamos calcular du = ddx (arcsin x) , dx = 1raiz1 - x^2 , dx e v = integral dx = x . Para encontrar , derivamos :
E para encontrar , integramos :

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral arcsin x , dx = arcsin x cdot x - integral x cdot 1raiz1 - x^2 , dx

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral w = 1 - x^2 Rightarrow dw = -2x , dx Rightarrow -12 dw = x , dx . Para isso, podemos fazer uma substituição simples. Vamos deixar:
integral xraiz1 - x^2 , dx = -12 integral 1raizw , dw = -12 cdot 2raizw + C = -raiz1 - x^2 + C
Substituindo na integral:

Passo 6

Voltando à nossa expressão original:
integral arcsin x , dx = x cdot arcsin x - ( -raiz1 - x^2 ) + C
Simplificando:
integral arcsin x , dx = x cdot arcsin x + raiz1 - x^2 + C

Resposta

integral arcsin x , dx = x cdot arcsin x + raiz1 - x^2 + C

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