Uma esfera com 0,500 m de raio, cuja emissividade é 0,7 , está a 30^circ C, em um local onde a temperatura ambiente é 80^circ C. Com que taxa a esfera (a) emite e (b) absorve radiação térmica? © Qual é a taxa líquida de troca de energia da esfera?
[Dica: P=sigma varepsilon A T^4 onde sigma=5,67 times 10^-8 Wm^-2 K^-4 ]

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma esfera com raio de 0,500 metros e emissividade de 0,7. Ela está a uma temperatura de 30^circ C num ambiente que está a 80^circ C. A gente precisa calcular três coisas:
a) A taxa com que a esfera emite radiação térmica.
b) A taxa com que a esfera absorve radiação térmica.
c) A taxa líquida de troca de energia da esfera.
Para isso, vamos usar a Lei de Stefan-Boltzmann, que nos ajuda a calcular a potência irradiada ou absorvida por um corpo devido à sua temperatura. A fórmula que vamos usar é:
P = sigma varepsilon A T^4
Onde:
  • P é a potência (em watts, W).
  • sigma é a constante de Stefan-Boltzmann ( 5,67 times 10^-8 W,m^-2,K^-4).
  • varepsilon é a emissividade do material.
  • A é a área da superfície do objeto.
  • T é a temperatura absoluta em Kelvin (K).
Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin. A conversão é simples:
T(K) = T(°C) + 273,15
Então:
  • Temperatura da esfera: 30^circ C + 273,15 = 303,15 K
  • Temperatura ambiente: 80^circ C + 273,15 = 353,15 K

Passo 3

Agora, vamos calcular a área da superfície da esfera. A fórmula para a área de uma esfera é:
A = 4 pi r^2
Onde r é o raio da esfera. Então:
A = 4 pi (0,500 , m)^2 = 4 pi (0,25 , m^2) = pi , m^2 approx 3,1416 , m^2

Passo 4

Vamos calcular a potência emitida pela esfera usando a temperatura dela. Aplicando a fórmula de Stefan-Boltzmann:
Pemitido = sigma varepsilon A Tesfera^4
Substituindo os valores:
Pemitido = 5,67 times 10^-8 times 0,7 times 3,1416 times (303,15)^4
Vamos calcular passo a passo:
  1. Calculando (303,15)^4: (303,15)^4 approx 8,464 times 10^9 , K^4
  2. Multiplicando todos os fatores: Pemitido approx 5,67 times 10^-8 times 0,7 times 3,1416 times 8,464 times 10^9 approx 1,13 times 10^4 , W
Então, a esfera emite aproximadamente 11.300 W.

Passo 5

Agora, vamos calcular a potência absorvida pela esfera. A esfera está em um ambiente mais quente, então ela absorve radiação do ambiente. A fórmula é similar:
Pabsorvido = sigma varepsilon A Tambiente^4
Substituindo os valores:
Pabsorvido = 5,67 times 10^-8 times 0,7 times 3,1416 times (353,15)^4
Calculando passo a passo:
  1. Calculando (353,15)^4: (353,15)^4 approx 1,556 times 10^10 , K^4
  2. Multiplicando todos os fatores: Pabsorvido approx 5,67 times 10^-8 times 0,7 times 3,1416 times 1,556 times 10^10 approx 1,88 times 10^4 , W
Assim, a esfera absorve aproximadamente 18.800 W.

Passo 6

Por fim, vamos determinar a taxa líquida de troca de energia da esfera. Isso significa calcular a diferença entre a potência absorvida e a potência emitida:
Plíquida = Pabsorvido - Pemitido = 18.800 , W - 11.300 , W = 7.500 , W í
Isso mostra que a esfera está absorvendo mais energia do que está emitindo, resultando em uma taxa líquida de 7.500 W.

Resposta

a) A esfera emite aproximadamente 1,13 times 10^4 , W.
b) A esfera absorve aproximadamente 1,88 times 10^4 , W.
c) A taxa líquida de troca de energia da esfera é de 7,5 times 10^3 , W.

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