Uma esfera de alumínio que pesa 6 kg e inicialmente à temperatura de 350^circ C, é subitamente imersa num fluido a 30^circ C com um coeficiente de convecção de 60 W / m 2.K. Calcule o tempo necessário para arrefecer a esfera até 100^circ C. Considerar as propriedades termofísicas como:
ll C=900 J / kg K, & rho=2700 kg / m^Im, k=205 W / m K

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma esfera de alumínio que pesa 6 kg e está inicialmente a uma temperatura de . Essa esfera é mergulhada de repente em um fluido que está a e temos um coeficiente de convecção de . Queremos descobrir quanto tempo leva para a esfera esfriar até .
Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de transferência de calor, especificamente a Lei de Resfriamento de Newton. Também vamos usar propriedades físicas da esfera, como sua massa, densidade e capacidade calorífica.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume da esfera. Sabemos que a massa ( V = mrho ) é 6 kg e a densidade ( V = 62700 = 0,002222 , m^3 ) é . A fórmula para o volume ( ) é:
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o raio da esfera. Sabemos que o volume de uma esfera é dado por:
V = 43pi r^3
Queremos resolver para r = ( 3V4pi )^1/3 :
r = ( 3 times 0,0022224pi )^1/3 approx 0,093 , m
Substituindo o valor de :

Passo 4

Com o raio, podemos calcular a área de superfície da esfera ( A = 4pi r^2 ):
A = 4pi (0,093)^2 approx 0,109 , m^2
Substituindo :

Passo 5

Agora, vamos aplicar a Lei de Resfriamento de Newton, que nos diz que a taxa de perda de calor é proporcional à diferença de temperatura entre o objeto e o ambiente. A equação é:
T(t) = Tinfty + (T0 - Tinfty) e^-hAmC t
Onde:
  • é a temperatura no tempo ,
  • é a temperatura do fluido,
  • é a temperatura inicial da esfera,
  • é o coeficiente de transferência de calor,
  • é a área de superfície,
  • é a massa,
  • é a capacidade calorífica.

Passo 6

Queremos encontrar o tempo t = -mChA ln( T(t) - TinftyT0 - Tinfty ) quando a temperatura da esfera atinge . Vamos rearranjar a equação para resolver :
Substituindo os valores conhecidos:
  • ,
  • ,
  • ,
  • ,
  • ,
  • ,
  • .

Passo 7

Vamos calcular agora:
t = -6 times 90060 times 0,109 ln( 100 - 30350 - 30 )
Primeiro, calculamos o logaritmo:
ln( 70320 ) = ln(0,21875) approx -1,523
Agora, substituímos:
t = -54006,54 times (-1,523) approx 5400 / 6,54 times 1,523 approx 826,87 , s
Convertendo para minutos:
826,87 , s div 60 approx 13,78 , min

Resposta

O tempo necessário para a esfera de alumínio esfriar de para é aproximadamente 13,8 minutos.

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