Uma esfera de alumínio que pesa 6 kg e inicialmente à temperatura de , é subitamente imersa num fluido a com um coeficiente de convecção de .K. Calcule o tempo necessário para arrefecer a esfera até . Considerar as propriedades termofísicas como:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma esfera de alumínio que pesa 6 kg e está inicialmente a uma temperatura de . Essa esfera é mergulhada de repente em um fluido que está a e temos um coeficiente de convecção de . Queremos descobrir quanto tempo leva para a esfera esfriar até .
Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de transferência de calor, especificamente a Lei de Resfriamento de Newton. Também vamos usar propriedades físicas da esfera, como sua massa, densidade e capacidade calorífica.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume da esfera. Sabemos que a massa ( ) é 6 kg e a densidade ( ) é . A fórmula para o volume ( ) é:
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o raio da esfera. Sabemos que o volume de uma esfera é dado por:
Queremos resolver para :
Substituindo o valor de :

Passo 4

Com o raio, podemos calcular a área de superfície da esfera ( ):
Substituindo :

Passo 5

Agora, vamos aplicar a Lei de Resfriamento de Newton, que nos diz que a taxa de perda de calor é proporcional à diferença de temperatura entre o objeto e o ambiente. A equação é:
Onde:
  • é a temperatura no tempo ,
  • é a temperatura do fluido,
  • é a temperatura inicial da esfera,
  • é o coeficiente de transferência de calor,
  • é a área de superfície,
  • é a massa,
  • é a capacidade calorífica.

Passo 6

Queremos encontrar o tempo quando a temperatura da esfera atinge . Vamos rearranjar a equação para resolver :
Substituindo os valores conhecidos:
  • ,
  • ,
  • ,
  • ,
  • ,
  • ,
  • .

Passo 7

Vamos calcular agora:
Primeiro, calculamos o logaritmo:
Agora, substituímos:
Convertendo para minutos:

Resposta

O tempo necessário para a esfera de alumínio esfriar de para é aproximadamente 13,8 minutos.

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