A tubeira de um motor de foguete é feita de aço de alta temperatura com 0,64 cm de espessura, k=29 W / m K, alpha=6,39 times 10-6 m 2 / s. O coeficiente de película superficial do lado da chama é 8370 W / m 2.K. A temperatura da chama é constante a 2200^circ C. Se o bocal estiver inicialmente a uma temperatura uniforme de 25^circ C. Qual deve ser a duração da combustão para limitar a temperatura de funcionamento do aço a 1100^circ C ?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar. Temos uma tubeira de foguete feita de aço com uma espessura de 0,64 cm. Queremos descobrir quanto tempo a combustão pode durar para que a temperatura do aço não ultrapasse 1100°C, sabendo que a temperatura da chama é de 2200°C e a temperatura inicial do bocal é de 25°C. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e transferência de calor por convecção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a transferência de calor no aço acontece por condução, que é a passagem de calor através de um material. A equação básica para condução de calor em uma dimensão é:
partial Tpartial t = alpha partial^2 Tpartial x^2
Onde:
  • é a temperatura
  • é o tempo
  • é a difusividade térmica ( )

Passo 3

Para simplificar, vamos assumir que a temperatura é uniforme na seção transversal da tubeira, o que nos permite usar o método da capacitância lumped. Isso é válido se o Biot número ( Bi = h Lck ) for menor que 0,1. O Biot é dado por:
Bi = 8370 times 0,003229 approx 0,92
Onde:
  • é o coeficiente de transferência de calor por convecção
  • é o comprimento característico, que para uma parede fina é a espessura
  • é a condutividade térmica
Calculando o Biot:
Como , o método da capacitância lumped não é apropriado. Portanto, precisamos usar uma solução mais detalhada para condução de calor.

Passo 4

Vamos usar a solução de condução de calor para uma parede plana com temperatura inicial T(x,t) = Ts + (Ti - Ts) erf( x2raizalpha t ) e temperatura na superfície 1100 = 2200 + (25 - 2200) erf( 0,00322raiz6,39 times 10^-6 t ) :
Queremos que a temperatura na superfície do aço não exceda 1100°C, então:

Passo 5

Vamos simplificar a equação para encontrar o tempo -1100 = (25 - 2200) erf( 0,00322raiz6,39 times 10^-6 t ) . Subtraindo 2200 de ambos os lados:
-1100 = -2175 , erf( 0,00322raiz6,39 times 10^-6 t )
11002175 = erf( 0,00322raiz6,39 times 10^-6 t )
Dividindo ambos os lados por -2175:
0,506 = erf( 0,00322raiz6,39 times 10^-6 t )

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o argumento da função erro ( erf^-1(0,506) approx 0,475 ) correspondente a 0,506. Usando tabelas ou uma calculadora, encontramos que:
0,00322raiz6,39 times 10^-6 t = 0,475
Então:

Passo 7

Resolvendo para 2raiz6,39 times 10^-6 t = 0,00320,475 :
raiz6,39 times 10^-6 t = 0,00322 times 0,475
raiz6,39 times 10^-6 t = 0,003368
6,39 times 10^-6 t = (0,003368)^2
Elevando ambos os lados ao quadrado:
6,39 times 10^-6 t = 1,136 times 10^-5
t = 1,136 times 10^-56,39 times 10^-6 approx 1,78 , s
Finalmente, isolando :

Resposta

A duração da combustão deve ser aproximadamente 1,78 segundos para limitar a temperatura do aço a 1100°C.

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