A tubeira de um motor de foguete é feita de aço de alta temperatura com
de espessura,
. O coeficiente de película superficial do lado da chama é
.K. A temperatura da chama é constante a
. Se o bocal estiver inicialmente a uma temperatura uniforme de
. Qual deve ser a duração da combustão para limitar a temperatura de funcionamento do aço a
?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar. Temos uma tubeira de foguete feita de aço com uma espessura de 0,64 cm. Queremos descobrir quanto tempo a combustão pode durar para que a temperatura do aço não ultrapasse 1100°C, sabendo que a temperatura da chama é de 2200°C e a temperatura inicial do bocal é de 25°C. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e transferência de calor por convecção.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a transferência de calor no aço acontece por condução, que é a passagem de calor através de um material. A equação básica para condução de calor em uma dimensão é:
Onde:
-
é a temperatura -
é o tempo -
é a difusividade térmica ( )
Passo 3
Para simplificar, vamos assumir que a temperatura é uniforme na seção transversal da tubeira, o que nos permite usar o método da capacitância lumped. Isso é válido se o Biot número (
) for menor que 0,1. O Biot é dado por:
Onde:
-
é o coeficiente de transferência de calor por convecção -
é o comprimento característico, que para uma parede fina é a espessura -
é a condutividade térmica
Calculando o Biot:
Como
, o método da capacitância lumped não é apropriado. Portanto, precisamos usar uma solução mais detalhada para condução de calor.
Passo 4
Vamos usar a solução de condução de calor para uma parede plana com temperatura inicial
e temperatura na superfície
:
Queremos que a temperatura na superfície do aço não exceda 1100°C, então:
Passo 5
Vamos simplificar a equação para encontrar o tempo
. Subtraindo 2200 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por -2175:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar o argumento da função erro (
) correspondente a 0,506. Usando tabelas ou uma calculadora, encontramos que:
Então:
Passo 7
Resolvendo para
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Finalmente, isolando
:
Resposta
A duração da combustão deve ser aproximadamente 1,78 segundos para limitar a temperatura do aço a 1100°C.