A tubeira de um motor de foguete é feita de aço de alta temperatura com de espessura, . O coeficiente de película superficial do lado da chama é .K. A temperatura da chama é constante a . Se o bocal estiver inicialmente a uma temperatura uniforme de . Qual deve ser a duração da combustão para limitar a temperatura de funcionamento do aço a ?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar. Temos uma tubeira de foguete feita de aço com uma espessura de 0,64 cm. Queremos descobrir quanto tempo a combustão pode durar para que a temperatura do aço não ultrapasse 1100°C, sabendo que a temperatura da chama é de 2200°C e a temperatura inicial do bocal é de 25°C. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e transferência de calor por convecção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a transferência de calor no aço acontece por condução, que é a passagem de calor através de um material. A equação básica para condução de calor em uma dimensão é:
Onde:
  • é a temperatura
  • é o tempo
  • é a difusividade térmica ( )

Passo 3

Para simplificar, vamos assumir que a temperatura é uniforme na seção transversal da tubeira, o que nos permite usar o método da capacitância lumped. Isso é válido se o Biot número ( ) for menor que 0,1. O Biot é dado por:
Onde:
  • é o coeficiente de transferência de calor por convecção
  • é o comprimento característico, que para uma parede fina é a espessura
  • é a condutividade térmica
Calculando o Biot:
Como , o método da capacitância lumped não é apropriado. Portanto, precisamos usar uma solução mais detalhada para condução de calor.

Passo 4

Vamos usar a solução de condução de calor para uma parede plana com temperatura inicial e temperatura na superfície :
Queremos que a temperatura na superfície do aço não exceda 1100°C, então:

Passo 5

Vamos simplificar a equação para encontrar o tempo . Subtraindo 2200 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por -2175:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o argumento da função erro ( ) correspondente a 0,506. Usando tabelas ou uma calculadora, encontramos que:
Então:

Passo 7

Resolvendo para :
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Finalmente, isolando :

Resposta

A duração da combustão deve ser aproximadamente 1,78 segundos para limitar a temperatura do aço a 1100°C.

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