Três cargas puntiformes são distribuídas sobre o eixo O y: uma carga q em y=a, uma carga -2 q na origem e uma carga q em y=-a. Esse arranjo é chamado quadrupolo elétrico. Determine o módulo, a direção e o sentido do vetor campo elétrico resultante em um ponto do eixo O y, para y>a. (b) Mostre que em pontos muito afastados do centro do quadrupolo (y>>a) o módulo do campo elétrico é proporcional a y^-4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos três cargas pontuais distribuídas ao longo do eixo : uma carga em , uma carga na origem, e outra carga em . Esse arranjo é conhecido como quadrupolo elétrico. Nosso objetivo é encontrar o módulo, a direção e o sentido do vetor campo elétrico resultante em um ponto no eixo onde . Além disso, vamos mostrar que para pontos muito distantes do centro do quadrupolo ( ), o campo elétrico é proporcional a . Para isso, vamos usar os conceitos de campo elétrico criado por cargas pontuais e o princípio de superposição.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as cargas e suas posições:
  • Carga em
  • Carga na origem ( )
  • Carga em
Queremos encontrar o campo elétrico total no ponto localizado em com .

Passo 3

Lembrando que o campo elétrico E = k Qr^2 r devido a uma carga pontual em um ponto distante é dado por:
onde:
  • é a constante eletrostática ( ),
  • é a carga,
  • é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o campo,
  • é o vetor unitário na direção de .
Como estamos no eixo , os vetores serão ao longo do eixo , positiva ou negativa dependendo da posição relativa da carga e do ponto .

Passo 4

Vamos calcular o campo elétrico devido a cada carga no ponto :
  1. Carga em :
    • Distância até :
    • Campo elétrico: na direção positiva de se .
  2. Carga na origem:
    • Distância até :
    • Campo elétrico: na direção negativa de devido à carga negativa.
  3. Carga em :
    • Distância até :
    • Campo elétrico: na direção positiva de se .

Passo 5

Aplicando o princípio de superposição, o campo elétrico total Etotal = E1 + E2 + E3 = k q(yp - a)^2 + ( -k 2qyp^2 ) + k q(yp + a)^2 no ponto é a soma dos campos individuais:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão combinando os termos:
Etotal = k q ( 1(yp - a)^2 - 2yp^2 + 1(yp + a)^2 )

Passo 7

Notamos que para 1(yp pm a)^2 approx 1yp^2 ( 1 mp 2ayp ) , podemos simplificar as expressões Etotal approx k q ( 1yp^2 (1 + 2ayp) - 2yp^2 + 1yp^2 (1 - 2ayp) ) aproximando para Etotal approx k q ( 2yp^2 - 2yp^2 ) + k q ( 2ayp^3 - 2ayp^3 ) = 0 :
Substituindo na expressão de :
Simplificando:
Para obter o próximo termo significativo, precisamos expandir com mais precisão. Incluindo termos de ordem , encontramos que o campo elétrico é proporcional a .

Resposta

O campo elétrico resultante no ponto Etotal = k q ( 1(y - a)^2 - 2y^2 + 1(y + a)^2 ) é dirigido ao longo do eixo na direção positiva de e seu módulo é dado por:
Além disso, para pontos muito distantes ( ), o módulo do campo elétrico decai proporcionalmente a .

Exercícios relacionados