Três cargas puntiformes são distribuídas sobre o eixo : uma carga em , uma carga na origem e uma carga em . Esse arranjo é chamado quadrupolo elétrico. Determine o módulo, a direção e o sentido do vetor campo elétrico resultante em um ponto do eixo , para . (b) Mostre que em pontos muito afastados do centro do quadrupolo o módulo do campo elétrico é proporcional a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos três cargas pontuais distribuídas ao longo do eixo : uma carga em , uma carga na origem, e outra carga em . Esse arranjo é conhecido como quadrupolo elétrico. Nosso objetivo é encontrar o módulo, a direção e o sentido do vetor campo elétrico resultante em um ponto no eixo onde . Além disso, vamos mostrar que para pontos muito distantes do centro do quadrupolo ( ), o campo elétrico é proporcional a . Para isso, vamos usar os conceitos de campo elétrico criado por cargas pontuais e o princípio de superposição.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as cargas e suas posições:
  • Carga em
  • Carga na origem ( )
  • Carga em
Queremos encontrar o campo elétrico total no ponto localizado em com .

Passo 3

Lembrando que o campo elétrico devido a uma carga pontual em um ponto distante é dado por:
onde:
  • é a constante eletrostática ( ),
  • é a carga,
  • é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o campo,
  • é o vetor unitário na direção de .
Como estamos no eixo , os vetores serão ao longo do eixo , positiva ou negativa dependendo da posição relativa da carga e do ponto .

Passo 4

Vamos calcular o campo elétrico devido a cada carga no ponto :
  1. Carga em :
    • Distância até :
    • Campo elétrico: na direção positiva de se .
  2. Carga na origem:
    • Distância até :
    • Campo elétrico: na direção negativa de devido à carga negativa.
  3. Carga em :
    • Distância até :
    • Campo elétrico: na direção positiva de se .

Passo 5

Aplicando o princípio de superposição, o campo elétrico total no ponto é a soma dos campos individuais:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão combinando os termos:

Passo 7

Notamos que para , podemos simplificar as expressões aproximando para :
Substituindo na expressão de :
Simplificando:
Para obter o próximo termo significativo, precisamos expandir com mais precisão. Incluindo termos de ordem , encontramos que o campo elétrico é proporcional a .

Resposta

O campo elétrico resultante no ponto é dirigido ao longo do eixo na direção positiva de e seu módulo é dado por:
Além disso, para pontos muito distantes ( ), o módulo do campo elétrico decai proporcionalmente a .

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