Três cargas puntiformes são distribuídas sobre o eixo
: uma carga
em
, uma carga
na origem e uma carga
em
. Esse arranjo é chamado quadrupolo elétrico. Determine o módulo, a direção e o sentido do vetor campo elétrico resultante em um ponto do eixo
, para
. (b) Mostre que em pontos muito afastados do centro do quadrupolo
o módulo do campo elétrico é proporcional a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos três cargas pontuais distribuídas ao longo do eixo
: uma carga
em
, uma carga
na origem, e outra carga
em
. Esse arranjo é conhecido como quadrupolo elétrico. Nosso objetivo é encontrar o módulo, a direção e o sentido do vetor campo elétrico resultante em um ponto no eixo
onde
. Além disso, vamos mostrar que para pontos muito distantes do centro do quadrupolo (
), o campo elétrico é proporcional a
. Para isso, vamos usar os conceitos de campo elétrico criado por cargas pontuais e o princípio de superposição.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as cargas e suas posições:
- Carga
em - Carga
na origem ( ) - Carga
em
Queremos encontrar o campo elétrico total no ponto
localizado em
com
.
Passo 3
Lembrando que o campo elétrico
devido a uma carga pontual
em um ponto distante é dado por:
onde:
-
é a constante eletrostática ( ), -
é a carga, -
é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o campo, -
é o vetor unitário na direção de .
Como estamos no eixo
, os vetores
serão ao longo do eixo
, positiva ou negativa dependendo da posição relativa da carga e do ponto
.
Passo 4
Vamos calcular o campo elétrico devido a cada carga no ponto
:
-
Carga
em : - Distância até
: - Campo elétrico:
na direção positiva de se .
- Distância até
-
Carga
na origem: - Distância até
: - Campo elétrico:
na direção negativa de devido à carga negativa.
- Distância até
-
Carga
em : - Distância até
: - Campo elétrico:
na direção positiva de se .
- Distância até
Passo 5
Aplicando o princípio de superposição, o campo elétrico total
no ponto
é a soma dos campos individuais:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão combinando os termos:
Passo 7
Notamos que para
, podemos simplificar as expressões
aproximando para
:
Substituindo na expressão de
:
Simplificando:
Para obter o próximo termo significativo, precisamos expandir com mais precisão. Incluindo termos de ordem
, encontramos que o campo elétrico é proporcional a
.
Resposta
O campo elétrico resultante no ponto
é dirigido ao longo do eixo
na direção positiva de
e seu módulo é dado por:
Além disso, para pontos muito distantes (
), o módulo do campo elétrico decai proporcionalmente a
.
Exercícios relacionados
Quatro cargas iguais,
, são colocadas nos vértices de um quadrado de lado
. (a) Escolha um sistema de coordenadas conveniente e faça um diagrama mostrando todas as forças que atuam em uma das cargas. (b) Determine o vetor campo elétrico que atua na carga que você escolheu. © Calcule o módulo desse vetor.
Uma barra não condutora de comprimento
tem uma carga
uniformemente distribuida. Determine o campo elétrico produzido no ponto
, situado no eixo
a uma distância
.
Duas cargas puntiformes
são colocadas sobre o eixo
, uma no ponto
e outra no ponto
. (a) Determine o campo elétrico no ponto
. (b) Deduza uma expressão para o campo elétrico (a componente
) em qualquer ponto sobre o eixo
. Para facilitar divida a sua análise em três regiões:
e
. © Faça um gráfico do campo elétrico em função de
englobando essas três regiões.
Uma esfera condutora oca com raio interno
e raio externo
possui uma carga puntiforme positiva
localizada em seu centro. A carga total sobre a esfera oca é
. (a) Obtenha expressões para o campo elétrico para
,
e
. (b) Determine as cargas na superfície interna e na superfície externa da esfera oca. © Faça um desenho indicando a localização das cargas e as linhas de campo elétrico.