Uma esfera condutora de raio R=30 cm, eletrizada positivamente com uma carga Q1=20 mu C, é ligada a outra esfera de raio R2=10 cm também condutora, mas descarregada. Qual o valor final da carga da esfera de raio R1, em mu C, depois que o equilíbrio é estabelecido?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas esferas condutoras: a primeira tem raio R1 = 30,cm e está carregada com uma carga positiva de Q1 = 20,muC. A segunda esfera tem raio R2 = 10,cm e está descarregada, ou seja, sem carga inicialmente. Nosso objetivo é descobrir qual será a carga final da primeira esfera depois que as duas forem conectadas e o sistema atingir o equilíbrio.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre eletricidade estática e como as cargas se distribuem entre condutores quando estão ligados, mantendo o potencial elétrico igual nas duas esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando duas esferas condutoras estão conectadas, elas compartilham a carga até que seus potenciais elétricos fiquem iguais. O potencial elétrico de uma esfera condutora é dado pela fórmula:
V = Q4piepsilon0 R
onde:
  • é o potencial elétrico,
  • é a carga na esfera,
  • é o raio da esfera,
  • é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Como as duas esferas estão conectadas e em equilíbrio, os potenciais delas serão iguais:
V1 = V2
Substituindo a fórmula do potencial:
Q14piepsilon0 R1 = Q24piepsilon0 R2
Podemos simplificar essa equação cancelando os termos comuns Q1R1 = Q2R2 :

Passo 4

Sabemos também que a carga total do sistema é conservada. Inicialmente, a primeira esfera tem uma carga Qtotal = Q1 + Q2 = 20,muC e a segunda esfera está descarregada ( ). Após o equilíbrio, a carga total será:

Passo 5

Agora, temos duas equações:
  1. Q2 = Q1 cdot R2R1
Podemos resolver esse sistema para encontrar e . Da primeira equação, podemos expressar em função de :

Passo 6

Substituindo essa expressão na segunda equação:
Q1 + Q1 cdot R2R1 = 20,muC
Fatorando Q1 (1 + R2R1) = 20,muC :

Passo 7

Agora, substituímos os valores dos raios:
R1 = 30,cm, R2 = 10,cm
Então:
1 + 1030 = 1 + 13 = 43
Portanto:
Q1 cdot 43 = 20,muC

Passo 8

Resolvendo para Q1 = 20,muC cdot 34 = 15,muC :

Passo 9

Então, a carga final da primeira esfera é .

Resposta

Depois que o equilíbrio é estabelecido, a carga final da esfera de raio é 15 μC.

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