Uma esfera condutora de raio A está no centro de uma casca esférica de raio B. Se ambas as esferas tem a mesma quantidade de carga total apenas com sinal invertido, calcule:
A capacitância desse sistema.
A capacitância desse sistema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas esferas: uma pequena de raio $ A $ no centro e uma casca esférica maior de raio $ B $ ao redor dela. As duas têm cargas iguais, mas com sinais opostos. Nosso objetivo é calcular a capacitância desse sistema. Para isso, vamos usar conceitos de capacitância de capacitores esféricos e algumas fórmulas básicas da eletricidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é capacitância. Capacitância ($ C
Q
V $). A fórmula geral é:
Passo 3
No caso de duas esferas concêntricas, a diferença de potencial entre elas depende das cargas e dos raios das esferas. Vamos considerar que a esfera interna tem carga $ +Q $ e a casca externa tem carga $ -Q $.
Passo 4
A diferença de potencial $ V $ entre as duas esferas pode ser calculada usando a fórmula para o potencial de uma esfera carregada. Para a esfera interna:
E para a casca externa:
Passo 5
A diferença de potencial entre elas é $ V = V_A - V_B $:
Simplificando:
Passo 6
Agora, usamos a definição de capacitância $ C = \frac{Q}{V} $:
Passo 7
Podemos simplificar a expressão combinando os termos no denominador:
Ou de forma equivalente:
Resposta
A capacitância do sistema é: