Uma esfera condutora de raio A está no centro de uma casca esférica de raio B. Se ambas as esferas tem a mesma quantidade de carga total apenas com sinal invertido, calcule:
A capacitância desse sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas esferas: uma pequena de raio $ A $ no centro e uma casca esférica maior de raio $ B $ ao redor dela. As duas têm cargas iguais, mas com sinais opostos. Nosso objetivo é calcular a capacitância desse sistema. Para isso, vamos usar conceitos de capacitância de capacitores esféricos e algumas fórmulas básicas da eletricidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é capacitância. Capacitância ($ C C é Q Q çé V $). A fórmula geral é:
V

Passo 3

No caso de duas esferas concêntricas, a diferença de potencial entre elas depende das cargas e dos raios das esferas. Vamos considerar que a esfera interna tem carga $ +Q $ e a casca externa tem carga $ -Q $.

Passo 4

A diferença de potencial $ V $ entre as duas esferas pode ser calculada usando a fórmula para o potencial de uma esfera carregada. Para a esfera interna:
V
E para a casca externa:
VA = 14pivarepsilon0 cdot QA

Passo 5

A diferença de potencial entre elas é $ V = V_A - V_B $:
V = VA - VB
Simplificando:
V = 14pivarepsilon0 ( QA - (-QB) ) = 14pivarepsilon0 ( QA + QB )

Passo 6

Agora, usamos a definição de capacitância $ C = \frac{Q}{V} $:
C = QV

Passo 7

Podemos simplificar a expressão combinando os termos no denominador:
C = 4pivarepsilon0 cdot A cdot BB + A
Ou de forma equivalente:
C = 4pivarepsilon0 cdot A cdot BB + A

Resposta

A capacitância do sistema é:
C = 4pivarepsilon0 cdot A cdot BB + A

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