Uma esfera condutora de raio
possui uma carga
. Calcule: (a) a densidade de energia elétrica para
e
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera condutora com raio
e carga total
. Nosso objetivo aqui é calcular a densidade de energia elétrica em dois casos: quando a distância
do ponto considerado é menor que
(
) e quando é maior que
(
). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletricidade estática, especialmente sobre campos elétricos e energia armazenada nesses campos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma esfera condutora tem a característica de que a carga se distribui apenas na superfície. Isso significa que, para
, dentro da esfera, o campo elétrico
é zero. Mas para
, o campo elétrico se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro, seguindo a lei de Coulomb.
Passo 3
A densidade de energia elétrica
pode ser calculada usando a fórmula:
onde
é a permissividade do vácuo e
é o campo elétrico.
Passo 4
Vamos primeiro calcular o campo elétrico para os dois casos.
Para
:
Como o campo elétrico dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático é zero,
Como o campo elétrico dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático é zero,
Para
:
O campo elétrico de uma esfera condutora carregada é dado por:
O campo elétrico de uma esfera condutora carregada é dado por:
Passo 5
Agora, vamos calcular a densidade de energia para cada caso usando a fórmula da densidade de energia.
Para
:
Então, a densidade de energia é zero dentro da esfera.
Para
:
Substituindo o campo elétrico na fórmula da densidade de energia:
Substituindo o campo elétrico na fórmula da densidade de energia:
Simplificando:
Resposta
A densidade de energia elétrica é: