Uma esfera condutora de raio R possui uma carga Q. Calcule: (a) a densidade de energia elétrica para r e r>R;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera condutora com raio e carga total . Nosso objetivo aqui é calcular a densidade de energia elétrica em dois casos: quando a distância do ponto considerado é menor que ( ) e quando é maior que ( ). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletricidade estática, especialmente sobre campos elétricos e energia armazenada nesses campos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma esfera condutora tem a característica de que a carga se distribui apenas na superfície. Isso significa que, para , dentro da esfera, o campo elétrico é zero. Mas para , o campo elétrico se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro, seguindo a lei de Coulomb.

Passo 3

A densidade de energia elétrica u = 12 varepsilon0 E^2 pode ser calculada usando a fórmula:
onde é a permissividade do vácuo e é o campo elétrico.

Passo 4

Vamos primeiro calcular o campo elétrico para os dois casos.
Para E = 0 :
Como o campo elétrico dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático é zero,
E = 14pi varepsilon0 cdot Qr^2
Para :
O campo elétrico de uma esfera condutora carregada é dado por:

Passo 5

Agora, vamos calcular a densidade de energia para cada caso usando a fórmula da densidade de energia.
Para u = 12 varepsilon0 (0)^2 = 0 :
u = 12 varepsilon0 ( 14pi varepsilon0 cdot Qr^2 )^2
Então, a densidade de energia é zero dentro da esfera.
Para u = 12 varepsilon0 cdot Q^2(4pi varepsilon0)^2 r^4 = Q^232 pi^2 varepsilon0 r^4 :
Substituindo o campo elétrico na fórmula da densidade de energia:
Simplificando:

Resposta

A densidade de energia elétrica é:
u = 0 & para r < R Q^232 pi^2 varepsilon0 r^4 & para r > R

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