Uma esfera condutora de raio R possui uma carga Q. Calcule: (a) a densidade de energia elétrica para r e r>R; (b) a energia total armazenada no campo elétrico da esfera carregada. © Mostre que a energia calculada é igual ao trabalho realizado para carregar a esfera com carga Q. (d) Usando a expressão U=Q^2 / 2 C e a energia armazenda que você calculou, obtenha a capacitância da esfera e compare com o resultado obtido no problema anterior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma esfera condutora com raio e carga . Precisamos calcular várias coisas relacionadas ao campo elétrico e à energia armazenada nessa esfera. Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • Campo Elétrico: Como ele se comporta dentro e fora da esfera.
  • Densidade de Energia Elétrica: A energia armazenada por unidade de volume no campo elétrico.
  • Energia Total: A energia total armazenada no campo elétrico.
  • Trabalho para Carregar a Esfera: Mostrar que essa energia é igual ao trabalho feito para carregar a esfera.
  • Capacitância: Relacionar a energia armazenada com a capacitância da esfera.
Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a densidade de energia elétrica para u = 12 varepsilon0 E^2 e E = 14pi varepsilon0 cdot Qr^2 .
Teoria: A densidade de energia elétrica ( E = 0 ) é dada por:
u = 12 varepsilon0 ( 14pi varepsilon0 cdot Qr^2 )^2 = Q^232 pi^2 varepsilon0 r^4
onde u = 12 varepsilon0 cdot 0^2 = 0 é a permissividade do vácuo e é o campo elétrico.
Campo Elétrico:
  • Para (fora da esfera condutora):
  • Para (dentro da esfera condutora):
    Em condutores em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico interno é zero:
Aplicando a fórmula da densidade de energia:
  • Para :
  • Para :

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia total armazenada no campo elétrico da esfera carregada.
Teoria: A energia total ( U = integral u , dV ) armazenada no campo elétrico é a integral da densidade de energia sobre todo o espaço:
U = integralR^infty Q^232 pi^2 varepsilon0 r^4 cdot 4pi r^2 dr = Q^28 pi varepsilon0 integralR^infty 1r^2 dr
Onde integralR^infty 1r^2 dr = [ -1r ]R^infty = 1R é o elemento de volume em coordenadas esféricas: U = Q^28 pi varepsilon0 R .
Calculando para (já que para , ):
Então:

Passo 4

Agora, vamos mostrar que a energia calculada é igual ao trabalho realizado para carregar a esfera com carga U = Q^28 pi varepsilon0 R .
Teoria: O trabalho necessário para levar carga de zero a W = U = Q^28 pi varepsilon0 R numa esfera condutora é igual à energia armazenada no campo elétrico.
Cálculo:
Sabemos que a energia armazenada é:
E o trabalho realizado para carregar a esfera também deve ser:
Portanto, confirmamos que o trabalho realizado para carregar a esfera é igual à energia armazenada no campo elétrico.

Passo 5

Por fim, vamos usar a expressão U = Q^22C para obter a capacitância da esfera e comparar com o resultado obtido anteriormente.
Teoria: A relação entre energia, carga e capacitância é:
C = Q^22U
Podemos rearranjar para encontrar a capacitância ( C = Q^22 cdot Q^28 pi varepsilon0 R = 8 pi varepsilon0 R2 = 4 pi varepsilon0 R ):
C = 4 pi varepsilon0 R
Substituindo :
Comparação:
Para uma esfera condutora, a capacitância é conhecida por ser:
E é exatamente o que encontramos. Portanto, nossa dedução está correta!

Resposta

A capacitância da esfera é , que coincide com o resultado conhecido para uma esfera condutora.

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