Uma esfera condutora de raio R possui uma carga Q. Calcule: (a) a densidade de energia elétrica para r e r>R; (b) a energia total armazenada no campo elétrico da esfera carregada. © Mostre que a energia calculada é igual ao trabalho realizado para carregar a esfera com carga Q. (d) Usando a expressão U=Q^2 / 2 C e a energia armazenda que você calculou, obtenha a capacitância da esfera e compare com o resultado obtido no problema anterior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma esfera condutora com raio e carga . Precisamos calcular várias coisas relacionadas ao campo elétrico e à energia armazenada nessa esfera. Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • Campo Elétrico: Como ele se comporta dentro e fora da esfera.
  • Densidade de Energia Elétrica: A energia armazenada por unidade de volume no campo elétrico.
  • Energia Total: A energia total armazenada no campo elétrico.
  • Trabalho para Carregar a Esfera: Mostrar que essa energia é igual ao trabalho feito para carregar a esfera.
  • Capacitância: Relacionar a energia armazenada com a capacitância da esfera.
Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a densidade de energia elétrica para u = 12 varepsilon0 E^2 e E = 14pi varepsilon0 cdot Qr^2 .
Teoria: A densidade de energia elétrica ( E = 0 ) é dada por:
u = 12 varepsilon0 ( 14pi varepsilon0 cdot Qr^2 )^2 = Q^232 pi^2 varepsilon0 r^4
onde u = 12 varepsilon0 cdot 0^2 = 0 é a permissividade do vácuo e é o campo elétrico.
Campo Elétrico:
  • Para (fora da esfera condutora):
  • Para (dentro da esfera condutora):
    Em condutores em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico interno é zero:
Aplicando a fórmula da densidade de energia:
  • Para :
  • Para :

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia total armazenada no campo elétrico da esfera carregada.
Teoria: A energia total ( U = integral u , dV ) armazenada no campo elétrico é a integral da densidade de energia sobre todo o espaço:
U = integralR^infty Q^232 pi^2 varepsilon0 r^4 cdot 4pi r^2 dr = Q^28 pi varepsilon0 integralR^infty 1r^2 dr
Onde integralR^infty 1r^2 dr = [ -1r ]R^infty = 1R é o elemento de volume em coordenadas esféricas: U = Q^28 pi varepsilon0 R .
Calculando para (já que para , ):
Então:

Passo 4

Agora, vamos mostrar que a energia calculada é igual ao trabalho realizado para carregar a esfera com carga U = Q^28 pi varepsilon0 R .
Teoria: O trabalho necessário para levar carga de zero a W = U = Q^28 pi varepsilon0 R numa esfera condutora é igual à energia armazenada no campo elétrico.
Cálculo:
Sabemos que a energia armazenada é:
E o trabalho realizado para carregar a esfera também deve ser:
Portanto, confirmamos que o trabalho realizado para carregar a esfera é igual à energia armazenada no campo elétrico.

Passo 5

Por fim, vamos usar a expressão U = Q^22C para obter a capacitância da esfera e comparar com o resultado obtido anteriormente.
Teoria: A relação entre energia, carga e capacitância é:
C = Q^22U
Podemos rearranjar para encontrar a capacitância ( C = Q^22 cdot Q^28 pi varepsilon0 R = 8 pi varepsilon0 R2 = 4 pi varepsilon0 R ):
C = 4 pi varepsilon0 R
Substituindo :
Comparação:
Para uma esfera condutora, a capacitância é conhecida por ser:
E é exatamente o que encontramos. Portanto, nossa dedução está correta!

Resposta

A capacitância da esfera é , que coincide com o resultado conhecido para uma esfera condutora.

Exercícios relacionados

Com base na relação
e V0=h nu-phi
imagine que uma série de medições foi realizada com diferentes frequências de luz incidindo sobre um metal, e os seguintes valores de V0 foram encontrados:
Frequência nu(Hz) Potencial de Corte V0(V)
6.53 times 10^14 Hz 1.01 V
7.01 times 10^14 Hz 1.21 V
7.52 times 10^14 Hz 1.42 V
(a) Determine a constante de Planck h a partir da inclinação da reta do gráfico V0 versus nu.
(b) Qual é a função trabalho phi do metal utilizado?
Em 1900, Max Planck propôs uma solução para o problema da radiação de corpo negro ao sugerir que a energia emitida ou absorvida por um oscilador atômico não era contínua, mas quantizada. Ele postulou que a energia podia ser emitida ou absorvida apenas em quantidades discretas, chamadas
E=h nu
onde:
  • E é a energia do quantum (em joules),
  • h=6.626 times 10^-34 J cdot s é a constante de Planck,
  • nu é a frequência da radiação (em Hz).
    (a) Explique por que a hipótese de Planck foi necessária para resolver o problema da (b) Qual foi a principal diferença entre a abordagem de Planck e as previsões feitas pela teoria clássica (como a Lei de Rayleigh-Jeans)?
    Dica: A
    Importância histórica: A quantização da energia foi o primeiro passo para o desenvolvimento da mecânica quântica, que viria a descrever o comportamento de partículas subatômicas e revolucionar a física no século XX.
Um foguete passa pela Terra a 91,0 % da velocidade da luz. Em seu interior, um astronauta que está passando por um exame físico tem sua altura medida enquanto está deitado, paralelo à direção em que a nave está se movendo. © Suponha que o astronauta no item (a) se levante após o exame e esteja com seu corpo perpendicular à direção do movimento. Qual seria agora a altura medida pelo médico no foguete e pelo observador em terra?
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