Uma esfera condutora de raio
possui uma carga
. Calcule: (a) a densidade de energia elétrica para
e
; (b) a energia total armazenada no campo elétrico da esfera carregada. © Mostre que a energia calculada é igual ao trabalho realizado para carregar a esfera com carga
. (d) Usando a expressão
e a energia armazenda que você calculou, obtenha a capacitância da esfera e compare com o resultado obtido no problema anterior.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma esfera condutora com raio
e carga
. Precisamos calcular várias coisas relacionadas ao campo elétrico e à energia armazenada nessa esfera. Para resolver isso, vamos precisar entender:
- Campo Elétrico: Como ele se comporta dentro e fora da esfera.
- Densidade de Energia Elétrica: A energia armazenada por unidade de volume no campo elétrico.
- Energia Total: A energia total armazenada no campo elétrico.
- Trabalho para Carregar a Esfera: Mostrar que essa energia é igual ao trabalho feito para carregar a esfera.
- Capacitância: Relacionar a energia armazenada com a capacitância da esfera.
Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a densidade de energia elétrica para
e
.
Teoria: A densidade de energia elétrica (
) é dada por:
onde
é a permissividade do vácuo e
é o campo elétrico.
Campo Elétrico:
- Para
(fora da esfera condutora):
- Para
(dentro da esfera condutora):
Em condutores em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico interno é zero:
Aplicando a fórmula da densidade de energia:
- Para
:
- Para
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a energia total armazenada no campo elétrico da esfera carregada.
Teoria: A energia total (
) armazenada no campo elétrico é a integral da densidade de energia sobre todo o espaço:
Onde
é o elemento de volume em coordenadas esféricas:
.
Calculando para
(já que para
,
):
Então:
Passo 4
Agora, vamos mostrar que a energia calculada é igual ao trabalho realizado para carregar a esfera com carga
.
Teoria: O trabalho necessário para levar carga de zero a
numa esfera condutora é igual à energia armazenada no campo elétrico.
Cálculo:
Sabemos que a energia armazenada é:
Sabemos que a energia armazenada é:
E o trabalho realizado para carregar a esfera também deve ser:
Portanto, confirmamos que o trabalho realizado para carregar a esfera é igual à energia armazenada no campo elétrico.
Passo 5
Por fim, vamos usar a expressão
para obter a capacitância da esfera e comparar com o resultado obtido anteriormente.
Teoria: A relação entre energia, carga e capacitância é:
Podemos rearranjar para encontrar a capacitância (
):
Substituindo
:
Comparação:
Para uma esfera condutora, a capacitância é conhecida por ser:
Para uma esfera condutora, a capacitância é conhecida por ser:
E é exatamente o que encontramos. Portanto, nossa dedução está correta!
Resposta
A capacitância da esfera é
, que coincide com o resultado conhecido para uma esfera condutora.