Uma esfera condutora de raio e carga no interior de outra esfera oca, condutora e descarregada de raio interno e raio externo . Determine o campo elétrico no ponto do centro da esfera para:
d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de eletrostática envolvendo duas esferas condutoras. A primeira esfera tem raio e carga , e está dentro de uma segunda esfera oca, também condutora, com raio interno e raio externo . A segunda esfera está descarregada, ou seja, sem carga no total. A pergunta é: qual é o campo elétrico no ponto quando (ou seja, fora das duas esferas)?
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações de alta simetria, como esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição de cargas. Temos a esfera interna com carga . Como a segunda esfera é condutora e inicialmente sem carga, elas se vão influenciar mutuamente. A esfera interna com carga vai induzir uma carga na superfície interna da segunda esfera para manter a condutividade e o equilíbrio elétrico. Isso significa que a superfície externa da segunda esfera terá uma carga para conservar a carga total neutra.

Passo 3

Agora, para encontrar o campo elétrico fora das duas esferas ( ), podemos considerar uma superfície gaussiana esférica de raio . Segundo a Lei de Gauss:
Onde:
  • é o campo elétrico.
  • é o elemento de área da superfície gaussiana.
  • é a carga total dentro da superfície.
  • é a permissividade do vácuo.

Passo 4

Dentro da nossa superfície gaussiana ( ), a carga total é a soma das cargas das duas esferas. Como a carga da segunda esfera é (superfície externa) e a carga da primeira é , a carga total dentro da superfície gaussiana é:

Passo 5

No entanto, precisamos lembrar que a segunda esfera inicialmente era descarregada, o que significa que a carga total nela é zero. Então, a carga na superfície externa da segunda esfera é causada pela indução da carga na superfície interna. Portanto, a contribuição real para o campo elétrico fora das duas esferas é apenas a carga da esfera interna:

Passo 6

Agora, aplicando a Lei de Gauss:
Isolando o campo elétrico :

Resposta

O campo elétrico no ponto para é dado por:

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