Uma esfera condutora de raio
e carga
no interior de outra esfera oca, condutora e descarregada de raio interno
e raio externo
. Determine o campo elétrico no ponto
do centro da esfera para:
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de eletrostática envolvendo duas esferas condutoras. A primeira esfera tem raio
e carga
, e está dentro de uma segunda esfera oca, também condutora, com raio interno
e raio externo
. A segunda esfera está descarregada, ou seja, sem carga no total. A pergunta é: qual é o campo elétrico no ponto
quando
(ou seja, fora das duas esferas)?
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações de alta simetria, como esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição de cargas. Temos a esfera interna com carga
. Como a segunda esfera é condutora e inicialmente sem carga, elas se vão influenciar mutuamente. A esfera interna com carga
vai induzir uma carga
na superfície interna da segunda esfera para manter a condutividade e o equilíbrio elétrico. Isso significa que a superfície externa da segunda esfera terá uma carga
para conservar a carga total neutra.
Passo 3
Agora, para encontrar o campo elétrico fora das duas esferas (
), podemos considerar uma superfície gaussiana esférica de raio
. Segundo a Lei de Gauss:
Onde:
-
é o campo elétrico. -
é o elemento de área da superfície gaussiana. -
é a carga total dentro da superfície. -
é a permissividade do vácuo.
Passo 4
Dentro da nossa superfície gaussiana (
), a carga total é a soma das cargas das duas esferas. Como a carga da segunda esfera é
(superfície externa) e a carga da primeira é
, a carga total
dentro da superfície gaussiana é:
Passo 5
No entanto, precisamos lembrar que a segunda esfera inicialmente era descarregada, o que significa que a carga total nela é zero. Então, a carga
na superfície externa da segunda esfera é causada pela indução da carga
na superfície interna. Portanto, a contribuição real para o campo elétrico fora das duas esferas é apenas a carga da esfera interna:
Passo 6
Agora, aplicando a Lei de Gauss:
Isolando o campo elétrico
:
Resposta
O campo elétrico no ponto
para
é dado por:
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